Algebra Beispiele

$x^{2} + {(y - 3 \sqrt{2} x)}^{2} = 1$

Schritt 1

Schreibe ${(y - 3 \sqrt{2} x)}^{2}$ als $(y - 3 \sqrt{2} x) (y - 3 \sqrt{2} x)$ um.

$x^{2} + (y - 3 \sqrt{2} x) (y - 3 \sqrt{2} x) = 1$

Schritt 2

Multipliziere $(y - 3 \sqrt{2} x) (y - 3 \sqrt{2} x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + y (y - 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x (y - 3 \sqrt{2} x) = 1$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + y \cdot y + y (- 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x (y - 3 \sqrt{2} x) = 1$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + y \cdot y + y (- 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} x (- 3 \sqrt{2} x) = 1$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} + y^{2} + y (- 3 \sqrt{2} x) - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} x (- 3 \sqrt{2} x) = 1$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} x (- 3 \sqrt{2} x) = 1$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2} x \cdot x) = 1$

Schritt 3.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2} (x \cdot x)) = 1$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y - 3 \sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2} x^{2}) = 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \sqrt{2} \sqrt{2} x^{2} = 1$

Schritt 3.6

Multipliziere $9 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 3.6.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 (\sqrt{2} \sqrt{2}) x^{2} = 1$

Schritt 3.6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 (\sqrt{2} \sqrt{2}) x^{2} = 1$

Schritt 3.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1} x^{2} = 1$

Schritt 3.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 {\sqrt{2}}^{2} x^{2} = 1$

Schritt 3.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = 1$

Schritt 3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}) = 1$

Schritt 3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) = 1$

Schritt 3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2^{\frac{2}{2}} x^{2}) = 1$

Schritt 3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2 x^{2}) = 1$

Schritt 3.7.5

Berechne den Exponenten.

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 9 \cdot (2 x^{2}) = 1$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 3 \sqrt{2} y x - 3 \sqrt{2} x y + 18 x^{2} = 1$

Schritt 4

Ordne die Faktoren in den Termen $- 3 \sqrt{2} y x$ und $- 3 \sqrt{2} x y$ neu an.

$x^{2} + y^{2} - 3 x y \sqrt{2} - 3 x y \sqrt{2} + 18 x^{2} = 1$

Schritt 5

Subtrahiere $3 x y \sqrt{2}$ von $- 3 x y \sqrt{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 6 x y \sqrt{2} + 18 x^{2} = 1$

Schritt 6

Addiere $x^{2}$ und $18 x^{2}$ .

$19 x^{2} + y^{2} - 6 x y \sqrt{2} = 1$

Schritt 7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$19 x^{2} + y^{2} - 6 x y \sqrt{2} - 1 = 0$

Schritt 8

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 9

Setze die Werte $a = 19$ , $b = - 6 y \sqrt{2}$ und $c = y^{2} - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6 y \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (19 \cdot (y^{2} - 1))}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6 (y \sqrt{2}))}^{2} - 4 \cdot (19 \cdot (y^{2} - 1))}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.2

Es sei $u = 19 \cdot (y^{2} - 1)$ . Ersetze $u$ für alle $19 \cdot (y^{2} - 1)$ .

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Schritt 10.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 10.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 6 y \sqrt{2}$ an.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6 y)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $- 6 y$ an.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} y^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.2.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.2.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 10.1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{36 y^{2} \cdot 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{72 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.3

Faktorisiere $4$ aus $72 y^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 10.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $72 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (18 y^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - u)}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.4

Ersetze alle $u$ durch $19 \cdot (y^{2} - 1)$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 \cdot (y^{2} - 1)))}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.5

Vereinfache.

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Schritt 10.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 y^{2} + 19 \cdot - 1))}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.5.1.2

Mutltipliziere $19$ mit $- 1$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 y^{2} - 19))}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - (19 y^{2}) + 19)}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.5.1.4

Mutltipliziere $19$ mit $- 1$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - 19 y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 19$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (18 y^{2} - 19 y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.5.2

Subtrahiere $19 y^{2}$ von $18 y^{2}$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm \sqrt{2^{2} (- y^{2} + 19)}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{- y^{2} + 19}}{2 \cdot 19}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $19$ .

$x = \frac{6 y \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{- y^{2} + 19}}{38}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\frac{6 y \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{- y^{2} + 19}}{38}$ .

$x = \frac{3 y \sqrt{2} \pm \sqrt{- y^{2} + 19}}{19}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 y \sqrt{2} + \sqrt{- y^{2} + 19}}{19}$

$x = \frac{3 y \sqrt{2} - \sqrt{- y^{2} + 19}}{19}$