Algebra Beispiele

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x^{3} + 2 x^{2} - 15 x} \div \frac{- 2}{9 - x^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x^{3} + 2 x^{2} - 15 x} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x \cdot x^{2} + 2 x^{2} - 15 x} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x \cdot x^{2} + x (2 x) - 15 x} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 15 x$ heraus.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 15} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ heraus.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 15} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 15$ heraus.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x (x^{2} + 2 x - 15)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x ((x - 3) (x + 5))} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 5$ und $x + 5$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- (x) - 5}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- (x) - 1 (5)}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- (x + 5)}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- (x + 5)$ als $- 1 (x + 5)$ um.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- 1 (x + 5)}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- 1 (x + 5)}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- 1}{x (x - 3)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{x + 3} \cdot (- \frac{1}{x (x - 3)}) \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{2}{x + 3} \cdot \frac{1}{x (x - 3)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x (x - 3)}$ mit $\frac{2}{x + 3}$ .

$- \frac{2}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x (x - 3) (x + 3)}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{- 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{- 1}{x (x - 3) (x + 3)}$ mit $\frac{9 - x^{2}}{- 1}$ .

$\frac{- (9 - x^{2})}{x (x - 3) (x + 3) \cdot - 1}$

Schritt 3.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{9 - x^{2}}{x (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3^{2} - x^{2}}{x (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{x (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 + x$ und $x + 3$ .

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Schritt 5.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{x (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{x (x - 3) (x + 3)}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - x}{x (x - 3)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 - x$ und $x - 3$ .

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Schritt 5.2.1

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{- 1 (- 3) - x}{x (x - 3)}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- 1 (- 3) - (x)}{x (x - 3)}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 3 + x)}{x (x - 3)}$

Schritt 5.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (x - 3)}{x (x - 3)}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x - 3)}{x (x - 3)}$

Schritt 5.2.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x}$