Algebra Beispiele

$(\sqrt[5]{\sqrt{40} - \sqrt{8}}) (\sqrt[5]{\sqrt{40} + \sqrt{8}})$

Schritt 1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt[5]{(\sqrt{40} - \sqrt{8}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Schritt 2

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$\sqrt[5]{(\sqrt{4 (10)} - \sqrt{8}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Schritt 2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt[5]{(\sqrt{2^{2} \cdot 10} - \sqrt{8}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Schritt 3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - \sqrt{8}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Schritt 4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - \sqrt{4 (2)}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Schritt 4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Schritt 5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - (2 \sqrt{2})) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Schritt 6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Schritt 7

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{4 (10)} + \sqrt{8})}$

Schritt 7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2^{2} \cdot 10} + \sqrt{8})}$

Schritt 8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{10} + \sqrt{8})}$

Schritt 9

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{10} + \sqrt{4 (2)})}$

Schritt 9.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{10} + \sqrt{2^{2} \cdot 2})}$

Schritt 10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 11

Multipliziere $(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt[5]{2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt[5]{2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt[5]{2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Multipliziere $2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})$ .

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Schritt 12.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt[5]{4 \sqrt{10} \sqrt{10} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.1.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sqrt[5]{4 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.1.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sqrt[5]{4 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}) + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt[5]{4 {\sqrt{10}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt[5]{4 {\sqrt{10}}^{2} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.2

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 12.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt[5]{4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[5]{4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt[5]{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt[5]{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[5]{4 \cdot 10^{1} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt[5]{4 \cdot 10 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$\sqrt[5]{40 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 12.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt[5]{40 + 4 \sqrt{10} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt[5]{40 + 4 \sqrt{2 \cdot 10} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\sqrt[5]{40 + 4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.5

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 12.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\sqrt[5]{40 + 4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt[5]{40 + 4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt[5]{40 + 4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.8

Multipliziere $- 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})$ .

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Schritt 12.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.8.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.8.3

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.9

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 12.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.9.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.12

Multipliziere $- 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 12.1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 12.1.12.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 12.1.12.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 12.1.12.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 12.1.12.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 12.1.13

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 12.1.13.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.1.13.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 12.1.13.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.1.13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.13.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.1.13.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \cdot 2^{1}}$

Schritt 12.1.13.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \cdot 2}$

Schritt 12.1.14

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 8}$

Schritt 12.2

Subtrahiere $8$ von $40$ .

$\sqrt[5]{32 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5}}$

Schritt 12.3

Subtrahiere $8 \sqrt{5}$ von $8 \sqrt{5}$ .

$\sqrt[5]{32 + 0}$

Schritt 12.4

Addiere $32$ und $0$ .

$\sqrt[5]{32}$

Schritt 13

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$\sqrt[5]{2^{5}}$

Schritt 14

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$2$