Algebra Beispiele

$7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$ $x - y = 9$

Schritt 1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9 + y$

$7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $9 + y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$ durch $9 + y$ .

$7 {(9 + y)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $7 {(9 + y)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(9 + y)}^{2}$ als $(9 + y) (9 + y)$ um.

$7 ((9 + y) (9 + y)) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(9 + y) (9 + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (9 (9 + y) + y (9 + y)) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (9 \cdot 9 + 9 y + y (9 + y)) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (9 \cdot 9 + 9 y + y \cdot 9 + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$7 (9 \cdot 9 + 9 y + y \cdot 9 + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$7 (81 + 9 y + y \cdot 9 + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $y$ .

$7 (81 + 9 y + 9 \cdot y + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$7 (81 + 9 y + 9 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$7 (81 + 9 y + 9 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Addiere $9 y$ und $9 y$ .

$7 (81 + 18 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$7 (81 + 18 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \cdot 81 + 7 (18 y) + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $81$ .

$567 + 7 (18 y) + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $18$ mit $7$ .

$567 + 126 y + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 126 y + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 126 y + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Subtrahiere $24 y$ von $126 y$ .

$567 + 7 y^{2} + 3 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $7 y^{2}$ und $3 y^{2}$ .

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

Schritt 3

Löse in $567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $139$ von beiden Seiten der Gleichung.

$567 + 10 y^{2} + 102 y - 139 = 0$

$x = 9 + y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $139$ von $567$ .

$10 y^{2} + 102 y + 428 = 0$

$x = 9 + y$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $10 y^{2} + 102 y + 428$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y^{2}$ heraus.

$2 (5 y^{2}) + 102 y + 428 = 0$

$x = 9 + y$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $102 y$ heraus.

$2 (5 y^{2}) + 2 (51 y) + 428 = 0$

$x = 9 + y$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $428$ heraus.

$2 (5 y^{2}) + 2 (51 y) + 2 (214) = 0$

$x = 9 + y$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 y^{2}) + 2 (51 y)$ heraus.

$2 (5 y^{2} + 51 y) + 2 (214) = 0$

$x = 9 + y$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 y^{2} + 51 y) + 2 (214)$ heraus.

$2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$

$x = 9 + y$

$2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$

$x = 9 + y$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (5 y^{2} + 51 y + 214)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 y^{2} + 51 y + 214)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $5 y^{2} + 51 y + 214$ durch $1$ .

$5 y^{2} + 51 y + 214 = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$5 y^{2} + 51 y + 214 = 0$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = 0$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = 0$

$x = 9 + y$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 5$ , $b = 51$ und $c = 214$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 51 \pm \sqrt{51^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 214)}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $51$ mit $2$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4 \cdot 5 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 214$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 20 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $214$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.7.1.3

Subtrahiere $4280$ von $2601$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $- 1679$ als $- 1 (1679)$ um.

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1679)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}$ um.

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $51$ mit $2$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4 \cdot 5 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 214$ .

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Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 20 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $214$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.1.3

Subtrahiere $4280$ von $2601$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $- 1679$ als $- 1 (1679)$ um.

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1679)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}$ um.

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.4

Schreibe $- 51$ als $- 1 (51)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{1679}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 51 - (- i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (51) - (- i \sqrt{1679})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (51 - i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1.1

Potenziere $51$ mit $2$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4 \cdot 5 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 214$ .

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Schritt 3.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 20 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $214$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.1.3

Subtrahiere $4280$ von $2601$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.1.4

Schreibe $- 1679$ als $- 1 (1679)$ um.

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1679)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}$ um.

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.4

Schreibe $- 51$ als $- 1 (51)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{1679}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 51 - (i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (51) - (i \sqrt{1679})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (51 + i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 3.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}, - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}, - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 9 + y$ durch $- \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ .

$x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 4.2

Vereinfache $x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$x = 9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kombiniere $9$ und $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{9 \cdot 10}{10} - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 4.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 9 + y$ durch $- \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ .

$x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 5.2

Vereinfache $x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$x = 9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kombiniere $9$ und $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{9 \cdot 10}{10} - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 5.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}, y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}, y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Schritt 7