Algebra Beispiele

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x + \sqrt{x}$ als Gleichung.

$y = x + \sqrt{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y + \sqrt{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y + \sqrt{y} = x$ um.

$y + \sqrt{y} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{y} = x - y$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(x - y)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - y)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$y = (x - y) (x - y)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Schritt 3.4.3.1.3.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.4.1

Bewege $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Schritt 3.4.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Schritt 3.4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Schritt 3.4.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 3.4.3.1.3.2.1

Bewege $y$ .

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Schritt 3.4.3.1.3.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

Schritt 3.5.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 x - 1$ und $c = x^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.1.4

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ als ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ um.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 2 x - 1$ und $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.1.6

Vereinfache.

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Schritt 3.5.5.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.1.6.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.1.6.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.1.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.1.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.1.6.6

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.4

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ als ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ um.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 2 x - 1$ und $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6

Vereinfache.

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Schritt 3.5.6.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.1.6.6

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Schritt 3.5.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Schritt 3.5.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.4

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ als ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ um.

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 2 x - 1$ und $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6

Vereinfache.

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Schritt 3.5.7.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.1.6.6

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Schritt 3.5.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Schritt 3.5.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x + \sqrt{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = x + \sqrt{x}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1.1

Teile jeden Term in $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Dividiere $- 4 x - 1$ durch $1$ .

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$- 4 x - 1 \leq 0$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x \leq 1$

Schritt 5.3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x \leq 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.3.1

Teile jeden Term in $- 4 x \leq 1$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Schritt 5.3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Schritt 5.3.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 4}$

Schritt 5.3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = x + \sqrt{x}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ keine inverse Funktion von $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6