Algebra Beispiele

$\log_{3} (y) + \log_{3} (x) - \frac{1}{2} \log_{3} (x) + 3 \log_{3} (z)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (y x) - \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (x) + 3 \log_{3} (z)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Multipliziere $- \frac{1}{2} \log_{3} (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Stelle $\log_{3} (x)$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\log_{3} (y x) - (\frac{1}{2} \log_{3} (x)) + 3 \log_{3} (z)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \log_{3} (x)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (y x) - \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 \log_{3} (z)$

Schritt 2.2

Vereinfache $3 \log_{3} (z)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (y x) - \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (z^{3})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{y x}{x^{\frac{1}{2}}}) + \log_{3} (z^{3})$

Schritt 4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (\frac{y x}{x^{\frac{1}{2}}} z^{3})$

Schritt 5

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{3} (y x \cdot x^{- \frac{1}{2}} z^{3})$

Schritt 6

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} (y (x^{- \frac{1}{2}} x) z^{3})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{3} (y (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) z^{3})$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{3} (y x^{- \frac{1}{2} + 1} z^{3})$

Schritt 6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\log_{3} (y x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} z^{3})$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{3} (y x^{\frac{- 1 + 2}{2}} z^{3})$

Schritt 6.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\log_{3} (y x^{\frac{1}{2}} z^{3})$

Schritt 7

Stelle die Faktoren in $\log_{3} (y x^{\frac{1}{2}} z^{3})$ um.

$\log_{3} (y z^{3} x^{\frac{1}{2}})$