Algebra Beispiele

$x^{2} = - \frac{32}{3} y$ $x^{2} + y^{2} = 100$

Schritt 1

Löse in $x^{2} = - \frac{32}{3} y$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{32}{3} y}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Schritt 1.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{32}{3} y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{32}{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y \cdot 32}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Schritt 1.2.2

Bringe $32$ auf die linke Seite von $y$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

$x = \pm \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Schritt 1.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Schritt 1.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Schritt 1.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Schritt 2

Löse das System $x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}, x^{2} + y^{2} = 100$ .

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Schritt 2.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 100$ durch $\sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ .

${(\sqrt{- \frac{32 y}{3}})}^{2} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2}$ als $- \frac{32 y}{3}$ um.

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Schritt 2.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ als ${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(- \frac{32 y}{3}) + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(- \frac{32 y}{3}) + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.1.2.1.5

Vereinfache.

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2

Löse in $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ mit $3$ .

$- \frac{32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{32 y}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.1.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.1.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 32 y + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.3.1

Mutltipliziere $100$ mit $3$ .

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $300$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 32 y + 3 y^{2} - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$- 32 u + 3 u^{2} - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Stelle die Terme um.

$3 u^{2} - 32 u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.3.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 300 = - 900$ und deren Summe gleich $b = - 32$ ist.

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $- 32$ aus $- 32 u$ heraus.

$3 u^{2} - 32 u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Schreibe $- 32$ um als $18$ plus $- 50$

$3 u^{2} + (18 - 50) u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} + 18 u - 50 u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$3 u^{2} + 18 u - 50 u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.3.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.3.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} + 18 u) - 50 u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.3.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 u (u + 6) - 50 (u + 6) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$3 u (u + 6) - 50 (u + 6) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.3.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u + 6$ .

$(u + 6) (3 u - 50) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(u + 6) (3 u - 50) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$(y + 6) (3 y - 50) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(y + 6) (3 y - 50) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 6 = 0$

$3 y - 50 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.5

Setze $y + 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $y + 6$ gleich $0$ .

$y + 6 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 6$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = - 6$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.6

Setze $3 y - 50$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.6.1

Setze $3 y - 50$ gleich $0$ .

$3 y - 50 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.6.2

Löse $3 y - 50 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.6.2.1

Addiere $50$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 50$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 50$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 50$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y + 6) (3 y - 50) = 0$ wahr machen.

$y = - 6, \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = - 6, \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ durch $- 6$ .

$x = \sqrt{- \frac{32 (- 6)}{3}}$

$y = - 6$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{- \frac{32 (- 6)}{3}}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{32 (- 6)}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $32 (- 6)$ heraus.

$x = \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3}}$

$y = - 6$

Schritt 2.3.2.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x = \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3 (1)}}$

$y = - 6$

Schritt 2.3.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3 \cdot 1}}$

$y = - 6$

Schritt 2.3.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \sqrt{- \frac{32 \cdot (- 2)}{1}}$

$y = - 6$

$x = \sqrt{- \frac{32 \cdot (- 2)}{1}}$

$y = - 6$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Dividiere $32 \cdot (- 2)$ durch $1$ .

$x = \sqrt{- (32 \cdot (- 2))}$

$y = - 6$

$x = \sqrt{- 1 \cdot 32 \cdot - 2}$

$y = - 6$

Schritt 2.3.2.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$x = \sqrt{- 32 \cdot - 2}$

$y = - 6$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 2$ .

$x = \sqrt{64}$

$y = - 6$

$x = \sqrt{64}$

$y = - 6$

Schritt 2.3.2.1.3

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \sqrt{8^{2}}$

$y = - 6$

Schritt 2.3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = 8$

$y = - 6$

$x = 8$

$y = - 6$

$x = 8$

$y = - 6$

$x = 8$

$y = - 6$

Schritt 2.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{50}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ durch $\frac{50}{3}$ .

$x = \sqrt{- \frac{32 (\frac{50}{3})}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{- \frac{32 (\frac{50}{3})}{3}}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kombiniere $32$ und $\frac{50}{3}$ .

$x = \sqrt{- \frac{\frac{32 \cdot 50}{3}}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $32$ mit $50$ .

$x = \sqrt{- \frac{\frac{1600}{3}}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 2.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \sqrt{- (\frac{1600}{3} \cdot \frac{1}{3})}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 2.4.2.1.4

Multipliziere $\frac{1600}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1600}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \sqrt{- \frac{1600}{3 \cdot 3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \sqrt{- \frac{1600}{9}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{1600}{9}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 2.4.2.1.5

Schreibe $- \frac{1600}{9}$ als ${(\frac{40 i}{3})}^{2}$ um.

$x = \sqrt{{(\frac{40 i}{3})}^{2}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 2.4.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 3

Löse das System $x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}, x^{2} + y^{2} = 100$ .

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Schritt 3.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 100$ durch $- \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ .

${(- \sqrt{- \frac{32 y}{3}})}^{2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ an.

${(- 1)}^{2} {\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2}$ mit $1$ .

${\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2}$ als $- \frac{32 y}{3}$ um.

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ als ${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(- \frac{32 y}{3}) + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(- \frac{32 y}{3}) + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.4.5

Vereinfache.

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2

Löse in $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ mit $3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ mit $3$ .

$- \frac{32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{32 y}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.1.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.1.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 32 y + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $100$ mit $3$ .

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $300$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 32 y + 3 y^{2} - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$- 32 u + 3 u^{2} - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Stelle die Terme um.

$3 u^{2} - 32 u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.3.2.2

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Schritt 3.2.3.2.2.1

Faktorisiere $- 32$ aus $- 32 u$ heraus.

$3 u^{2} - 32 u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.3.2.2.2

Schreibe $- 32$ um als $18$ plus $- 50$

$3 u^{2} + (18 - 50) u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} + 18 u - 50 u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$3 u^{2} + 18 u - 50 u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.3.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.3.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} + 18 u) - 50 u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.3.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 u (u + 6) - 50 (u + 6) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$3 u (u + 6) - 50 (u + 6) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.3.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u + 6$ .

$(u + 6) (3 u - 50) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(u + 6) (3 u - 50) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$(y + 6) (3 y - 50) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(y + 6) (3 y - 50) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 6 = 0$

$3 y - 50 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.5

Setze $y + 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Setze $y + 6$ gleich $0$ .

$y + 6 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 6$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = - 6$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.6

Setze $3 y - 50$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Setze $3 y - 50$ gleich $0$ .

$3 y - 50 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.6.2

Löse $3 y - 50 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.6.2.1

Addiere $50$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 50$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 50$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 50$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y + 6) (3 y - 50) = 0$ wahr machen.

$y = - 6, \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = - 6, \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ durch $- 6$ .

$x = - \sqrt{- \frac{32 (- 6)}{3}}$

$y = - 6$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $- \sqrt{- \frac{32 (- 6)}{3}}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{32 (- 6)}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $32 (- 6)$ heraus.

$x = - \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3}}$

$y = - 6$

Schritt 3.3.2.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x = - \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3 (1)}}$

$y = - 6$

Schritt 3.3.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3 \cdot 1}}$

$y = - 6$

Schritt 3.3.2.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = - \sqrt{- \frac{32 \cdot (- 2)}{1}}$

$y = - 6$

$x = - \sqrt{- \frac{32 \cdot (- 2)}{1}}$

$y = - 6$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Dividiere $32 \cdot (- 2)$ durch $1$ .

$x = - \sqrt{- (32 \cdot (- 2))}$

$y = - 6$

$x = - \sqrt{- 1 \cdot 32 \cdot - 2}$

$y = - 6$

Schritt 3.3.2.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$x = - \sqrt{- 32 \cdot - 2}$

$y = - 6$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 2$ .

$x = - \sqrt{64}$

$y = - 6$

$x = - \sqrt{64}$

$y = - 6$

Schritt 3.3.2.1.3

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = - \sqrt{8^{2}}$

$y = - 6$

Schritt 3.3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = - 1 \cdot 8$

$y = - 6$

Schritt 3.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$x = - 8$

$y = - 6$

$x = - 8$

$y = - 6$

$x = - 8$

$y = - 6$

$x = - 8$

$y = - 6$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{50}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ durch $\frac{50}{3}$ .

$x = - \sqrt{- \frac{32 (\frac{50}{3})}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $- \sqrt{- \frac{32 (\frac{50}{3})}{3}}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kombiniere $32$ und $\frac{50}{3}$ .

$x = - \sqrt{- \frac{\frac{32 \cdot 50}{3}}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $32$ mit $50$ .

$x = - \sqrt{- \frac{\frac{1600}{3}}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 3.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \sqrt{- (\frac{1600}{3} \cdot \frac{1}{3})}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 3.4.2.1.4

Multipliziere $\frac{1600}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1600}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = - \sqrt{- \frac{1600}{3 \cdot 3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 3.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = - \sqrt{- \frac{1600}{9}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{1600}{9}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 3.4.2.1.5

Schreibe $- \frac{1600}{9}$ als ${(\frac{40 i}{3})}^{2}$ um.

$x = - \sqrt{{(\frac{40 i}{3})}^{2}}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 3.4.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = - \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

Schritt 4

Liste alle Lösungen auf.

$x = 8, y = - 6$

$x = \frac{40 i}{3}, y = \frac{50}{3}$

$x = - 8, y = - 6$

$x = - \frac{40 i}{3}, y = \frac{50}{3}$

Schritt 5