Algebra Beispiele

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \div \frac{3 x + 3 y}{x^{2} - y^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{3 x + 3 y}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 x + 3 y}$

Schritt 3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 y$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x) + 3 y}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x) + 3 (y)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (y)$ heraus.

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x + y)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x + y)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - y)}^{2} \frac{x - y}{3 (x + y)}$

Schritt 5

Kombiniere ${(x - y)}^{2}$ und $\frac{x - y}{3 (x + y)}$ .

$\frac{{(x - y)}^{2} (x - y)}{3 (x + y)}$

Schritt 6

Multipliziere ${(x - y)}^{2}$ mit $x - y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere ${(x - y)}^{2}$ mit $x - y$ .

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Schritt 6.1.1

Potenziere $x - y$ mit $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{2} {(x - y)}^{1}}{3 (x + y)}$

Schritt 6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x - y)}^{2 + 1}}{3 (x + y)}$

Schritt 6.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 7

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} (- y) + 3 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} y + 3 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 8.3

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 8.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x y^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 8.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 \cdot 1 x y^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 8.7

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 8.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 9

Zerlege den Bruch $\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}}{3 (x + y)}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 10

Zerlege den Bruch $\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2}}{3 (x + y)}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 11

Zerlege den Bruch $\frac{x^{3} - 3 x^{2} y}{3 (x + y)}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} y$ heraus.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{3 (- x^{2} y)}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{3 (- x^{2} y)}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 12.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{- x^{2} y}{x + y} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{x y^{2}}{x + y} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Schritt 15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{x y^{2}}{x + y} - \frac{y^{3}}{3 (x + y)}$