Algebra Beispiele

${(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))}^{2} - 16 \sin^{2} (x) = \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))}^{2} - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2

Vereinfache ${(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))}^{2} - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))}^{2}$ als $(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))$ um.

$(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Multipliziere $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ .

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Schritt 2.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$9 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 5$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.4

Multipliziere $- 5 \sin (x) (- 5 \sin (x))$ .

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Schritt 2.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) + 25 \sin (x) \sin (x) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) + 25 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.4.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) + 25 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) + 25 {\sin (x)}^{1 + 1} - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) + 25 \sin^{2} (x) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.2

Stelle die Faktoren von $15 \sin (x) \cos (x)$ um.

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 25 \sin^{2} (x) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.1.3.3

Addiere $15 \cos (x) \sin (x)$ und $15 \cos (x) \sin (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) + 30 \cos (x) \sin (x) + 25 \sin^{2} (x) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $16 \sin^{2} (x)$ von $25 \sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) + 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.3

Bewege $9 \sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) + 9 \sin^{2} (x) + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $9$ aus $9 \cos^{2} (x)$ heraus.

$9 (\cos^{2} (x)) + 9 \sin^{2} (x) + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $9$ aus $9 \sin^{2} (x)$ heraus.

$9 (\cos^{2} (x)) + 9 (\sin^{2} (x)) + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $9$ aus $9 (\cos^{2} (x)) + 9 (\sin^{2} (x))$ heraus.

$9 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.7

Ordne Terme um.

$9 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$9 \cdot 1 + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9 + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.10

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.11

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{9 \cdot 2 - (18 + 15 \sqrt{3})}{2} = 0$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{18 - (18 + 15 \sqrt{3})}{2} = 0$

Schritt 2.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.14.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{18 - 1 \cdot 18 - (15 \sqrt{3})}{2} = 0$

Schritt 2.14.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{18 - 18 - (15 \sqrt{3})}{2} = 0$

Schritt 2.14.1.3

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{18 - 18 - 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.14.1.4

Subtrahiere $18$ von $18$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{0 - 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.14.1.5

Subtrahiere $15 \sqrt{3}$ von $0$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{- 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 2.14.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$30 \cos (x) \sin (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 3

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{30 \cos (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30 \cos (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 4.2

Dividiere $30 \sin (x)$ durch $1$ .

$30 \sin (x) + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$30 \sin (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$30 \sin (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7

Kombiniere $\sec (x)$ und $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ .

$30 \sin (x) - \frac{\sec (x) (15 \sqrt{3})}{2} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 8

Bringe $15$ auf die linke Seite von $\sec (x)$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sec (x) \sqrt{3}}{2} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9

Separiere Brüche.

$30 \sin (x) - \frac{15 \sec (x) \sqrt{3}}{2} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 10

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$30 \sin (x) - \frac{15 \sec (x) \sqrt{3}}{2} = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 11

Dividiere $0$ durch $1$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sec (x) \sqrt{3}}{2} = 0 \sec (x)$

Schritt 12

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sec (x) \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 13

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$30 \sin (x) - \frac{15 \frac{1}{\cos (x)} \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 13.1.1.2.1

Kombiniere $15$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$30 \sin (x) - \frac{\frac{15}{\cos (x)} \sqrt{3}}{2} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2

Kombiniere $\frac{15}{\cos (x)}$ und $\sqrt{3}$ .

$30 \sin (x) - \frac{\frac{15 \sqrt{3}}{\cos (x)}}{2} = 0$

Schritt 13.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$30 \sin (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $\frac{15 \sqrt{3}}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{\cos (x) \cdot 2} = 0$

Schritt 13.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 14

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{30 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 15

Separiere Brüche.

$\frac{30}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 16

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{30}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 17

Dividiere $30$ durch $1$ .

$30 \tan (x) + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 18

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 19

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 20

Kombiniere $\sec (x)$ und $\frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)}$ .

$30 \tan (x) - \frac{\sec (x) (15 \sqrt{3})}{2 \cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 21

Separiere Brüche.

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 22

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 23

Schreibe $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 24

Vereinfache.

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Schritt 24.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot (\sec (x) (\frac{1}{\cos (x)}))) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 24.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot (\sec (x) \sec (x))) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 24.3

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot (\sec (x) \sec (x))) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 24.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot (\sec (x) \sec (x))) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 24.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot {\sec (x)}^{1 + 1}) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 24.6

Addiere $1$ und $1$ .

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \sec^{2} (x)) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 25

Kombiniere $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ und $\sec^{2} (x)$ .

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3} \sec^{2} (x)}{2} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 26

Separiere Brüche.

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3} \sec^{2} (x)}{2} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 27

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3} \sec^{2} (x)}{2} = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 28

Dividiere $0$ durch $1$ .

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3} \sec^{2} (x)}{2} = 0 \sec (x)$

Schritt 29

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3} \sec^{2} (x)}{2} = 0$

Schritt 30

Ersetze die $\sec^{2} (x)$ durch $1 + \tan^{2} (x)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$\frac{30 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x))}{2} = 0$

Schritt 31

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $2$ .

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Schritt 31.1

Faktorisiere $2$ aus $30 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x))$ heraus.

$\frac{2 (15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x)))}{2} = 0$

Schritt 31.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 31.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x)))}{2 (1)} = 0$

Schritt 31.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x)))}{2 \cdot 1} = 0$

Schritt 31.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x))}{1} = 0$

Schritt 31.2.4

Dividiere $15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x))$ durch $1$ .

$15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x)) = 0$

Schritt 32

Wende das Distributivgesetz an.

$15 \tan (x) \sqrt{3} \cdot 1 + 15 \tan (x) \sqrt{3} \tan^{2} (x) = 0$

Schritt 33

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$15 \tan (x) \sqrt{3} + 15 \tan (x) \sqrt{3} \tan^{2} (x) = 0$

Schritt 34

Multipliziere $\tan (x)$ mit $\tan^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 34.1

Bewege $\tan^{2} (x)$ .

$15 \tan (x) \sqrt{3} + 15 (\tan^{2} (x) \tan (x)) \sqrt{3} = 0$

Schritt 34.2

Mutltipliziere $\tan^{2} (x)$ mit $\tan (x)$ .

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Schritt 34.2.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$15 \tan (x) \sqrt{3} + 15 (\tan^{2} (x) \tan (x)) \sqrt{3} = 0$

Schritt 34.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 \tan (x) \sqrt{3} + 15 {\tan (x)}^{2 + 1} \sqrt{3} = 0$

Schritt 34.3

Addiere $2$ und $1$ .

$15 \tan (x) \sqrt{3} + 15 \tan^{3} (x) \sqrt{3} = 0$

Schritt 35

Stelle das Polynom um.

$15 \tan^{3} (x) \sqrt{3} + 15 \tan (x) \sqrt{3} = 0$

Schritt 36

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

$15 {(u)}^{3} \sqrt{3} + 15 (u) \sqrt{3} = 0$

Schritt 37

Faktorisiere $15 u \sqrt{3}$ aus $15 u^{3} \sqrt{3} + 15 u \sqrt{3}$ heraus.

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Schritt 37.1

Faktorisiere $15 u \sqrt{3}$ aus $15 u^{3} \sqrt{3}$ heraus.

$15 u \sqrt{3} u^{2} + 15 u \sqrt{3} = 0$

Schritt 37.2

Faktorisiere $15 u \sqrt{3}$ aus $15 u \sqrt{3}$ heraus.

$15 u \sqrt{3} u^{2} + 15 u \sqrt{3} \cdot 1 = 0$

Schritt 37.3

Faktorisiere $15 u \sqrt{3}$ aus $15 u \sqrt{3} u^{2} + 15 u \sqrt{3} \cdot 1$ heraus.

$15 u \sqrt{3} (u^{2} + 1) = 0$

Schritt 38

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Schritt 39

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 40

Setze $u^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 40.1

Setze $u^{2} + 1$ gleich $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Schritt 40.2

Löse $u^{2} + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 40.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} = - 1$

Schritt 40.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 40.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \pm i$

Schritt 40.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 40.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = i$

Schritt 40.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - i$

Schritt 40.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = i, - i$

Schritt 41

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $15 u \sqrt{3} (u^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 0, i, - i$

Schritt 42

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 0, i, - i$

Schritt 43

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Schritt 44

Löse in $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 44.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 44.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 44.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 44.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 44.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 44.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 44.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 44.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 44.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 44.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 44.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 45

Löse in $\tan (x) = i$ nach $x$ auf.

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Schritt 45.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (i)$

Schritt 45.2

Die inverse Tangente von $\arctan (i)$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 46

Löse in $\tan (x) = - i$ nach $x$ auf.

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Schritt 46.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- i)$

Schritt 46.2

Die inverse Tangente von $\arctan (- i)$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 47

Liste alle Lösungen auf.

$x = π n, π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 48

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 49

Schließe die Lösungen aus, die ${(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))}^{2} - 16 \sin^{2} (x) = \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2}$ nicht erfüllen.

Keine Lösung