Algebra Beispiele

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > x$

Schritt 1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} - x > 0$

Schritt 2

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |}$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} - x \cdot \frac{2 x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $- x$ und $\frac{2 x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |}$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} + \frac{- x (2 x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - | 5 x + 2 | - x (2 x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - | 5 x + 2 | - x (2 x) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 1 \cdot (2 x \cdot x) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 1 \cdot (2 x^{2}) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 2 x^{2} - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 x^{2} - x | 5 x + 2 | + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2}) - x | 5 x + 2 | + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x | 5 x + 2 |$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2}) - (x | 5 x + 2 |) + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - (x | 5 x + 2 |)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 |) + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 |) - 1 (- x) - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 |) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x) - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- | 5 x + 2 |$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x) - (| 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x) - (| 5 x + 2 |)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 5.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.8.1

Schreibe $- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)$ als $- 1 (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)$ um.

$\frac{- 1 (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 5.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Schritt 6

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 | = 0$

$2 x + | 5 x + 2 | = 0$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $| 5 x + 2 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2}$

Schritt 7.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x | 5 x + 2 | + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2} + x$

Schritt 8

Faktorisiere $| 5 x + 2 |$ aus $x | 5 x + 2 | + | 5 x + 2 |$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $| 5 x + 2 |$ aus $x | 5 x + 2 |$ heraus.

$| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2} + x$

Schritt 8.2

Potenziere $| 5 x + 2 |$ mit $1$ .

$| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2} + x$

Schritt 8.3

Faktorisiere $| 5 x + 2 |$ aus ${| 5 x + 2 |}^{1}$ heraus.

$| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | \cdot 1 = - 2 x^{2} + x$

Schritt 8.4

Faktorisiere $| 5 x + 2 |$ aus $| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | \cdot 1$ heraus.

$| 5 x + 2 | (x + 1) = - 2 x^{2} + x$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $| 5 x + 2 | (x + 1) = - 2 x^{2} + x$ durch $x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $| 5 x + 2 | (x + 1) = - 2 x^{2} + x$ durch $x + 1$ .

$\frac{| 5 x + 2 | (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x^{2}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 5 x + 2 | (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x^{2}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $| 5 x + 2 |$ durch $1$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{- 2 x^{2}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| 5 x + 2 | = \frac{- 2 x^{2} + x}{x + 1}$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x) + x}{x + 1}$

Schritt 9.3.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x) + x^{1}}{x + 1}$

Schritt 9.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x) + x \cdot 1}{x + 1}$

Schritt 9.3.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 2 x) + x \cdot 1$ heraus.

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x + 1)}{x + 1}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- (2 x) + 1)}{x + 1}$

Schritt 9.3.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- (2 x) - 1 (- 1))}{x + 1}$

Schritt 9.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- (2 x - 1))}{x + 1}$

Schritt 9.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.6.1

Schreibe $- (2 x - 1)$ als $- 1 (2 x - 1)$ um.

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 1 (2 x - 1))}{x + 1}$

Schritt 9.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$| 5 x + 2 | = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$

Schritt 10

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$5 x + 2 = \pm (- \frac{x (2 x - 1)}{x + 1})$

Schritt 11

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$5 x + 2 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$

Schritt 11.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 11.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x + 1, 1$

Schritt 11.3.2

Entferne die Klammern.

$1, x + 1, 1$

Schritt 11.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 1$

Schritt 11.4

Multipliziere jeden Term in $5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ mit $x + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 11.4.1

Multipliziere jeden Term in $5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ mit $x + 1$ .

$5 x (x + 1) = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.4.2.2.1

Bewege $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 1 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 11.4.3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$ in den Zähler.

$5 x^{2} + 5 x = \frac{- x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 5 x = \frac{- x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{2} + 5 x = - x (2 x - 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x = - x (2 x) - x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3.1.4

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 11.4.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x \cdot x + 1 x - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x \cdot x + x - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.4.3.1.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.4.3.1.5.1.1

Bewege $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x^{2} + x - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} + x - 2 (x + 1)$

Schritt 11.4.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} + x - 2 x - 2 \cdot 1$

Schritt 11.4.3.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} + x - 2 x - 2$

Schritt 11.4.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} - x - 2$

Schritt 11.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 11.5.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.5.1.1

Addiere $2 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 5 x + 2 x^{2} = - x - 2$

Schritt 11.5.1.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 5 x + 2 x^{2} + x = - 2$

Schritt 11.5.1.3

Addiere $5 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$7 x^{2} + 5 x + x = - 2$

Schritt 11.5.1.4

Addiere $5 x$ und $x$ .

$7 x^{2} + 6 x = - 2$

Schritt 11.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Schritt 11.5.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.5.4

Setze die Werte $a = 7$ , $b = 6$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 2)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.5.5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 7 \cdot 2$ .

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Schritt 11.5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 28 \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 28$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 56}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.1.3

Subtrahiere $56$ von $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 11.5.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 7}$

Schritt 11.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$

Schritt 11.5.5.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{5}}{7}$

Schritt 11.5.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{5}}{7}, - \frac{3 + i \sqrt{5}}{7}$

Schritt 11.6

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$5 x + 2 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$

Schritt 11.7

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$

Schritt 11.8

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 11.8.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x + 1, 1$

Schritt 11.8.2

Entferne die Klammern.

$1, x + 1, 1$

Schritt 11.8.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 1$

Schritt 11.9

Multipliziere jeden Term in $5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ mit $x + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 11.9.1

Multipliziere jeden Term in $5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ mit $x + 1$ .

$5 x (x + 1) = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.9.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.9.2.2.1

Bewege $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 1 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 11.9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{2} + 5 x = x (2 x - 1) - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x = x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{2} + 5 x = 2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.3.1.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x \cdot x - 1 \cdot x - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.9.3.1.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.9.3.1.5.1.1

Bewege $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 (x \cdot x) - 1 \cdot x - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - 1 \cdot x - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.3.1.5.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - x - 2 (x + 1)$

Schritt 11.9.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot 1$

Schritt 11.9.3.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - x - 2 x - 2$

Schritt 11.9.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - 3 x - 2$

Schritt 11.10

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.10.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.10.1.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} = - 3 x - 2$

Schritt 11.10.1.2

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} + 3 x = - 2$

Schritt 11.10.1.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $5 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 5 x + 3 x = - 2$

Schritt 11.10.1.4

Addiere $5 x$ und $3 x$ .

$3 x^{2} + 8 x = - 2$

Schritt 11.10.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 8 x + 2 = 0$

Schritt 11.10.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.10.4

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 8$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.10.5

Vereinfache.

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Schritt 11.10.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.10.5.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.10.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Schritt 11.10.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.10.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.10.5.1.3

Subtrahiere $24$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.10.5.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 11.10.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.10.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.10.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$

Schritt 11.10.5.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{10}}{3}$

Schritt 11.10.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

Schritt 11.11

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{5}}{7}, - \frac{3 + i \sqrt{5}}{7}, - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

Schritt 12

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$| 5 x + 2 | = - 2 x$

Schritt 13

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$5 x + 2 = \pm (- 2 x)$

Schritt 14

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 14.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$5 x + 2 = - 2 x$

Schritt 14.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 14.2.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x + 2 + 2 x = 0$

Schritt 14.2.2

Addiere $5 x$ und $2 x$ .

$7 x + 2 = 0$

Schritt 14.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = - 2$

Schritt 14.4

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 2$ durch $7$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 2$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Schritt 14.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 14.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Schritt 14.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Schritt 14.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{7}$

Schritt 14.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$5 x + 2 = 2 x$

Schritt 14.6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 14.6.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x + 2 - 2 x = 0$

Schritt 14.6.2

Subtrahiere $2 x$ von $5 x$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 14.7

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 14.8

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.8.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 14.8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 14.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 14.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 14.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Schritt 15

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$- \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

$x = - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Schritt 16

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}, - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Schritt 17

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} - x$ .

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Schritt 17.1

Setze den Nenner in $\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x + | 5 x + 2 | = 0$

Schritt 17.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 17.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$| 5 x + 2 | = - 2 x$

Schritt 17.2.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$5 x + 2 = \pm (- 2 x)$

Schritt 17.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 17.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$5 x + 2 = - 2 x$

Schritt 17.2.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 17.2.3.2.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x + 2 + 2 x = 0$

Schritt 17.2.3.2.2

Addiere $5 x$ und $2 x$ .

$7 x + 2 = 0$

Schritt 17.2.3.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = - 2$

Schritt 17.2.3.4

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 2$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 17.2.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 2$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Schritt 17.2.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 17.2.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Schritt 17.2.3.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Schritt 17.2.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.2.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{7}$

Schritt 17.2.3.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$5 x + 2 = 2 x$

Schritt 17.2.3.6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.3.6.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x + 2 - 2 x = 0$

Schritt 17.2.3.6.2

Subtrahiere $2 x$ von $5 x$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 17.2.3.7

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 17.2.3.8

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.3.8.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 17.2.3.8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.3.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 17.2.3.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 17.2.3.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.2.3.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 17.2.3.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Schritt 17.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, - \frac{2}{7}) \cup (- \frac{2}{7}, \infty)$

Schritt 18

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

$- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$

$- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$

$x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$

Schritt 19

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 19.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 19.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 5) - | 5 (- 5) + 2 |}{2 (- 5) + | 5 (- 5) + 2 |} > - 5$

Schritt 19.1.3

Die linke Seite $- 2.\overline{153846}$ ist größer als die rechte Seite $- 5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 19.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 19.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 19.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 2) - | 5 (- 2) + 2 |}{2 (- 2) + | 5 (- 2) + 2 |} > - 2$

Schritt 19.2.3

Die linke Seite $- 2.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 19.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.48$

Schritt 19.3.2

Ersetze $x$ durch $- 0.48$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 0.48) - | 5 (- 0.48) + 2 |}{2 (- 0.48) + | 5 (- 0.48) + 2 |} > - 0.48$

Schritt 19.3.3

Die linke Seite $1.\overline{571428}$ ist größer als die rechte Seite $- 0.48$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 19.4

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.28$

Schritt 19.4.2

Ersetze $x$ durch $- 0.28$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 0.28) - | 5 (- 0.28) + 2 |}{2 (- 0.28) + | 5 (- 0.28) + 2 |} > - 0.28$

Schritt 19.4.3

Die linke Seite $- 22$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 0.28$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 19.5

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 19.5.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - | 5 (0) + 2 |}{2 (0) + | 5 (0) + 2 |} > 0$

Schritt 19.5.3

Die linke Seite $- 1$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 19.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ Wahr

$- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ Falsch

$- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ Wahr

$- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Falsch

$x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Falsch

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ Wahr

$- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ Falsch

$- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ Wahr

$- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Falsch

$x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Falsch

Schritt 20

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ oder $- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$

Schritt 21

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3} or - \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, - \frac{2}{7})$

Schritt 22