Algebra Beispiele

$\frac{\csc (θ) + \sec (θ)}{\cos (θ) + \tan (θ)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $\csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\sin (θ)} + \sec (θ)}{\cos (θ) + \tan (θ)}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ) + \tan (θ)}$

Schritt 2

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $\sin (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$ mit $\frac{\sin (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.2

Kombinieren.

$\frac{\sin (θ) \cos (θ) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \cos (θ) (\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} + \sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 5

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) \cos (θ)$ heraus.

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ)) \frac{1}{\sin (θ)} + \sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} + \sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\sin (θ) \cos (θ)$ heraus.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\sin (θ) \cos (θ)$ heraus.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.4

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

Schritt 5.5

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

Schritt 5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1}}$

Schritt 5.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin^{2} (θ)}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin^{2} (θ)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ)$ heraus.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ) \cos (θ)) + \sin^{2} (θ)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ) \cos (θ)) + \sin (θ) \sin (θ)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) (\cos (θ) \cos (θ)) + \sin (θ) \sin (θ)$ heraus.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ))}$

Schritt 6.2

Multipliziere $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ))}$

Schritt 6.2.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ))}$

Schritt 6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ))}$

Schritt 6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos^{2} (θ) + \sin (θ))}$