Algebra Beispiele

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 17 x + 70}{x^{2} + 3 x - 28} \div \frac{- x - 10}{x^{2} - 8 x + 16}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 17 x + 70}{x^{2} + 3 x - 28} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 17 x + 70$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $70$ und deren Summe $17$ ist.

$7, 10$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{x^{2} + 3 x - 28} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 28$ und deren Summe $3$ ist.

$- 4, 7$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{(x - 4) (x + 7)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{(x - 4) (x + 7)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{(x - 4) (x + 7)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{x + 10}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 5

Multipliziere $- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{x + 10}{x - 4}$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{x + 10}{x - 4}$ mit $\frac{4}{x - 4}$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{(x - 4) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 5.2

Potenziere $x - 4$ mit $1$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{1} (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 5.3

Potenziere $x - 4$ mit $1$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{1 + 1}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x + 10$ .

$- \frac{4 \cdot (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Schritt 7

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{- x - 10}$

Schritt 7.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 7.3

Schreibe das Polynom neu.

$- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{- x - 10}$

Schritt 7.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{- x - 10}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 4)}^{2}$ .

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Schritt 8.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{- x - 10}$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{- x - 10}$

Schritt 8.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 (x + 10) \frac{1}{- x - 10}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{- x - 10}$ und $- 4$ .

$\frac{- 4}{- x - 10} (x + 10)$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{- x - 10} (x + 10)$

Schritt 8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4}{- x - 10} x - \frac{4}{- x - 10} \cdot 10$

Schritt 8.5

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{- x - 10}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} - \frac{4}{- x - 10} \cdot 10$

Schritt 9

Multipliziere $- \frac{4}{- x - 10} \cdot 10$ .

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} - 10 \frac{4}{- x - 10}$

Schritt 9.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{4}{- x - 10}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} + \frac{- 10 \cdot 4}{- x - 10}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $4$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} + \frac{- 40}{- x - 10}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x \cdot 4 - 40}{- x - 10}$

Schritt 11

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 x - 40}{- x - 10}$

Schritt 12

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x - 40$ heraus.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{4 (- x) - 40}{- x - 10}$

Schritt 12.2

Faktorisiere $4$ aus $- 40$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 4 (- 10)}{- x - 10}$

Schritt 12.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (- 10)$ heraus.

$\frac{4 (- x - 10)}{- x - 10}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 10$ .

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- x - 10)}{- x - 10}$

Schritt 13.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4$