Algebra Beispiele

$\frac{x}{9} = \frac{x - 3}{x - 1}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$x (x - 1) = 9 (x - 3)$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $x (x - 1)$ .

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Schritt 2.1.1

Forme um.

$0 + 0 + x (x - 1) = 9 (x - 3)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 9 (x - 3)$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 9 (x - 3)$

Schritt 2.1.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 9 (x - 3)$

Schritt 2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x = 9 (x - 3)$

Schritt 2.2

Vereinfache $9 (x - 3)$ .

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - x = 9 x + 9 \cdot - 3$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$x^{2} - x = 9 x - 27$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 9 x = - 27$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $9 x$ von $- x$ .

$x^{2} - 10 x = - 27$

Schritt 2.4

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 10 x + 27 = 0$

Schritt 2.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 10$ und $c = 27$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 27)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 27$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $27$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 108}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $108$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 5 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 5 + i \sqrt{2}, 5 - i \sqrt{2}$