Algebra Beispiele

$\frac{3 x - x^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \div \frac{x - 10}{4 x^{3} - 64 x}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{3 x - x^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $3 x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 3 - x^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 3 + x (- x)}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 3 + x (- x)$ heraus.

$\frac{x (3 - x)}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x (3 - x)}{x^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{x (3 - x)}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x (3 - x)}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 4}{(x - 3) (x + 4)} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (3 - x)}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 4}{(x - 3) (x + 4)} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (3 - x)}{x - 4} \cdot \frac{1}{(x - 3) (x + 4)} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{x (3 - x)}{x - 4}$ mit $\frac{1}{(x - 3) (x + 4)}$ .

$\frac{x (3 - x)}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 - x$ und $x - 3$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{x (- 1 (- 3) - x)}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- 1 (- 3) - (x))}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - (x)$ heraus.

$\frac{x (- 1 (- 3 + x))}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x (- 1 (x - 3))}{(x - 4) (x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 1 (x - 3))}{(x - 4) (x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot (- 1)}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 5.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 64 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2}) - 64 x}{x - 10}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 64 x$ heraus.

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (- 16)}{x - 10}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 16)$ heraus.

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2} - 16)}{x - 10}$

Schritt 6.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2} - 4^{2})}{x - 10}$

Schritt 6.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x + 4) (x - 4)}{x - 10}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 4) (x - 4)$ .

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Schritt 7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)}$ in den Zähler.

$\frac{- x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x + 4) (x - 4)}{x - 10}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $(x + 4) (x - 4)$ aus $(x - 4) (x + 4)$ heraus.

$\frac{- x}{(x + 4) (x - 4) (1)} \cdot \frac{4 x (x + 4) (x - 4)}{x - 10}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $(x + 4) (x - 4)$ aus $4 x (x + 4) (x - 4)$ heraus.

$\frac{- x}{(x + 4) (x - 4) (1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4) (4 x)}{x - 10}$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x}{(x + 4) (x - 4) \cdot 1} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4) (4 x)}{x - 10}$

Schritt 7.1.5

Forme den Ausdruck um.

$- x \frac{4 x}{x - 10}$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{4 x}{x - 10}$ und $x$ .

$- \frac{4 x \cdot x}{x - 10}$

Schritt 8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{4 (x^{1} x)}{x - 10}$

Schritt 9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{4 (x^{1} x^{1})}{x - 10}$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 x^{1 + 1}}{x - 10}$

Schritt 11

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{x - 10}$