Algebra Beispiele

${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{5} i)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $i$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5})}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5})}^{2}$ als $(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5})$ um.

$(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5}) + \frac{2 i}{5} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{1}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 i$ heraus.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (i)}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} + \sqrt{3} \frac{i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{i}{5}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 i$ heraus.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{2 (i)}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i}{5} \sqrt{3} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.6

Kombiniere $\frac{i}{5}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $\frac{2 i}{5} \cdot \frac{2 i}{5}$ .

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Schritt 3.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 i}{5}$ mit $\frac{2 i}{5}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{2 i (2 i)}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{4 i i}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.7.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{4 (i^{1} i)}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.7.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{4 (i^{1} i^{1})}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{4 i^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{4 i^{2}}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.7.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{4 i^{2}}{25}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{4 \cdot - 1}{25}$

Schritt 3.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{- 4}{25}$

Schritt 3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5} - \frac{4}{25}$

Schritt 3.2

Um $\frac{3}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{25}{25} - \frac{4}{25} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.3

Um $- \frac{4}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{25}{25} - \frac{4}{25} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $100$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} - \frac{4}{25} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$\frac{3 \cdot 25}{100} - \frac{4}{25} \cdot \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{4}{25}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{100} - \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$\frac{3 \cdot 25}{100} - \frac{4 \cdot 4}{100} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \cdot 25 - 4 \cdot 4}{100} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$\frac{75 - 4 \cdot 4}{100} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{75 - 16}{100} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $16$ von $75$ .

$\frac{59}{100} + \frac{\sqrt{3} i}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.7

Stelle die Terme um.

$\frac{59}{100} + \frac{i \sqrt{3}}{5} + \frac{i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{59}{100} + \frac{2 i \sqrt{3}}{5}$