Algebra Beispiele

$f (x) = b {(x + a)}^{3} + c$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = b {(x + a)}^{3} + c$ als Gleichung.

$y = b {(x + a)}^{3} + c$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$b = y {(x + a)}^{3} + c$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y {(x + a)}^{3} + c = b$ um.

$y {(x + a)}^{3} + c = b$

Schritt 3.2

Subtrahiere $c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y {(x + a)}^{3} = b - c$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $y {(x + a)}^{3} = b - c$ durch ${(x + a)}^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y {(x + a)}^{3} = b - c$ durch ${(x + a)}^{3}$ .

$\frac{y {(x + a)}^{3}}{{(x + a)}^{3}} = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- c}{{(x + a)}^{3}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + a)}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y {(x + a)}^{3}}{{(x + a)}^{3}} = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- c}{{(x + a)}^{3}}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- c}{{(x + a)}^{3}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (b)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (b) = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (b) = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ die Umkehrfunktion von $f (b) = b {(x + a)}^{3} + c$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (b)) = b$ ist und $f (f^{- 1} (b)) = b$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (b))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (b))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b {(x + a)}^{3} + c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b (x^{3} + 3 x^{2} a + 3 x a^{2} + a^{3}) + c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + b (3 x^{2} a) + b (3 x a^{2}) + b a^{3} + c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b x^{2} a + b (3 x a^{2}) + b a^{3} + c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Schritt 5.2.3.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3} + c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3} + c - c}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3} + c - c$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Subtrahiere $c$ von $c$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3} + 0}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b x^{2} a + 3 b x a^{2} + b a^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.4.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 b a x^{2} + 3 b x a^{2} + b a^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.3.2

Bewege $b$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 a b x^{2} + 3 b x a^{2} + b a^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.3.3

Bewege $x$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 a b x^{2} + 3 b a^{2} x + b a^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.3.4

Bewege $b$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 a b x^{2} + 3 a^{2} b x + b a^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.3.5

Stelle $b$ und $a^{3}$ um.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b x^{3} + 3 a b x^{2} + 3 a^{2} b x + a^{3} b}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.3.6

Bewege $b x^{3}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{3 a b x^{2} + 3 a^{2} b x + a^{3} b + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.3.7

Bewege $3 a b x^{2}$ .

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{3 a^{2} b x + a^{3} b + 3 a b x^{2} + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.3.8

Stelle $3 a^{2} b x$ und $a^{3} b$ um.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{a^{3} b + 3 a^{2} b x + 3 a b x^{2} + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.4

Faktorisiere $b$ aus $a^{3} b + 3 a^{2} b x + 3 a b x^{2} + b x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $b$ aus $a^{3} b$ heraus.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b a^{3} + 3 a^{2} b x + 3 a b x^{2} + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Faktorisiere $b$ aus $3 a^{2} b x$ heraus.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b a^{3} + b (3 a^{2} x) + 3 a b x^{2} + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Faktorisiere $b$ aus $3 a b x^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b a^{3} + b (3 a^{2} x) + b (3 a x^{2}) + b x^{3}}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.4.4

Faktorisiere $b$ aus $b x^{3}$ heraus.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b a^{3} + b (3 a^{2} x) + b (3 a x^{2}) + b (x^{3})}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.4.5

Faktorisiere $b$ aus $b a^{3} + b (3 a^{2} x)$ heraus.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b (a^{3} + 3 a^{2} x) + b (3 a x^{2}) + b (x^{3})}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.4.6

Faktorisiere $b$ aus $b (a^{3} + 3 a^{2} x) + b (3 a x^{2})$ heraus.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b (a^{3} + 3 a^{2} x + 3 a x^{2}) + b (x^{3})}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.2.4.4.7

Faktorisiere $b$ aus $b (a^{3} + 3 a^{2} x + 3 a x^{2}) + b (x^{3})$ heraus.

$f^{- 1} (b {(x + a)}^{3} + c) = \frac{b (a^{3} + 3 a^{2} x + 3 a x^{2} + x^{3})}{{(a + x)}^{3}}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (b))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (b))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) {(x + a)}^{3} + c$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) (x^{3} + 3 x^{2} a + 3 x a^{2} + a^{3}) + c$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere $(\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) (x^{3} + 3 x^{2} a + 3 x a^{2} + a^{3})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.3.1

Kombiniere $\frac{b}{{(x + a)}^{3}}$ und $x^{3}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + 3 (\frac{b}{{(x + a)}^{3}}) \cdot (x^{2} a) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{b}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x^{2} a) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.4

Multipliziere $\frac{3 b}{{(x + a)}^{3}} (x^{2} a)$ .

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Schritt 5.3.3.3.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3 b}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x^{2} (3 b)}{{(x + a)}^{3}} \cdot a + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.4.2

Kombiniere $\frac{x^{2} (3 b)}{{(x + a)}^{3}}$ und $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x^{2} (3 b) a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 \cdot (x^{2} b a)}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + 3 (\frac{b}{{(x + a)}^{3}}) \cdot (x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.7

Kombiniere $3$ und $\frac{b}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 b}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x a^{2}) + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.8

Multipliziere $\frac{3 b}{{(x + a)}^{3}} (x a^{2})$ .

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Schritt 5.3.3.3.8.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3 b}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x (3 b)}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{2} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.8.2

Kombiniere $\frac{x (3 b)}{{(x + a)}^{3}}$ und $a^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x (3 b) a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 \cdot (x b a^{2})}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.10

Kombiniere $\frac{b}{{(x + a)}^{3}}$ und $a^{3}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot x^{3} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.11

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.12

Multipliziere $- \frac{c}{{(x + a)}^{3}} (3 x^{2} a)$ .

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Schritt 5.3.3.3.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - 3 \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.12.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- 3 c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x^{2} a) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.12.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{- 3 c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x^{2} (- 3 c)}{{(x + a)}^{3}} \cdot a - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.12.4

Kombiniere $\frac{x^{2} (- 3 c)}{{(x + a)}^{3}}$ und $a$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x^{2} (- 3 c) a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.13

Entferne unnötige Klammern.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x^{2} \cdot (- 3 c a)}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.14

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- 3 \cdot (x^{2} c a)}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{(3) \cdot (x^{2} c a)}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (3 x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.16

Multipliziere $- \frac{c}{{(x + a)}^{3}} (3 x a^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.16.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - 3 \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.16.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- 3 c}{{(x + a)}^{3}} \cdot (x a^{2}) - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.16.3

Kombiniere $x$ und $\frac{- 3 c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x (- 3 c)}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{2} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.16.4

Kombiniere $\frac{x (- 3 c)}{{(x + a)}^{3}}$ und $a^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x (- 3 c) a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.17

Entferne unnötige Klammern.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{x \cdot (- 3 c a^{2})}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.18

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{- 3 \cdot (x c a^{2})}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{(3) \cdot (x c a^{2})}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}} \cdot a^{3} + c$

Schritt 5.3.3.3.20

Kombiniere $a^{3}$ und $\frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.4.1

Stelle $x$ und $a$ um.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 x^{2} b a}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.2

Bewege $x^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 b a x^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.3

Bewege $b$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.4

Stelle $x$ und $a$ um.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 x b a^{2}}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.5

Bewege $x$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 b a^{2} x}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.6

Bewege $b$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(x + a)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.7

Stelle $x$ und $a$ um.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{b a^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.8

Stelle $b$ und $a^{3}$ um.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.9

Stelle $x$ und $a$ um.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{x^{3} c}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.10

Stelle $x^{3}$ und $c$ um.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.11

Stelle $x$ und $a$ um.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 x^{2} c a}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.12

Bewege $x^{2}$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 c a x^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.13

Bewege $c$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.14

Stelle $x$ und $a$ um.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 x c a^{2}}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.15

Bewege $x$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 c a^{2} x}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.16

Bewege $c$ .

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a^{2} c x}{{(x + a)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.17

Stelle $x$ und $a$ um.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a^{2} c x}{{(a + x)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(x + a)}^{3}} + c$

Schritt 5.3.4.18

Stelle $x$ und $a$ um.

$f (\frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}) = \frac{b x^{3}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a b x^{2}}{{(a + x)}^{3}} + \frac{3 a^{2} b x}{{(a + x)}^{3}} + \frac{a^{3} b}{{(a + x)}^{3}} - \frac{c x^{3}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a c x^{2}}{{(a + x)}^{3}} - \frac{3 a^{2} c x}{{(a + x)}^{3}} - \frac{a^{3} c}{{(a + x)}^{3}} + c$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (b)) = b$ und $f (f^{- 1} (b)) = b$ gleich sind, ist $f^{- 1} (b) = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (b) = b {(x + a)}^{3} + c$ .

$f^{- 1} (b) = \frac{b}{{(x + a)}^{3}} - \frac{c}{{(x + a)}^{3}}$