Algebra Beispiele

$\frac{x^{2}}{x^{4}} - {(x^{2})}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}} - {(x^{2})}^{2}$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} - {(x^{2})}^{2}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} - {(x^{2})}^{2}$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2}} - {(x^{2})}^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} - x^{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{x^{2}} - x^{4}$

Schritt 2

Um $- x^{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} - x^{4} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $- x^{4}$ und $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{4} x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - x^{4} x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{1^{3} - x^{4} x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $x^{4} x^{2}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$\frac{1^{3} - {(x^{2})}^{3}}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (1^{2} + 1 x^{2} + {(x^{2})}^{2})}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(1^{2} - x^{2}) (1^{2} + 1 x^{2} + {(x^{2})}^{2})}{x^{2}}$

Schritt 4.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) (1^{2} + 1 x^{2} + {(x^{2})}^{2})}{x^{2}}$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) (1^{2} + x^{2} + {(x^{2})}^{2})}{x^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(1 + x) (1 - x) (1 + x^{2} + {(x^{2})}^{2})}{x^{2}}$

Schritt 4.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) (1 + x^{2} + x^{2 \cdot 2})}{x^{2}}$

Schritt 4.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) (1 + x^{2} + x^{4})}{x^{2}}$