Algebra Beispiele

$x - 2 = \sqrt{\frac{3}{2} x - 2}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{\frac{3}{2} x - 2} = x - 2$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\frac{3}{2} x - 2}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{3}{2} x - 2}$ als ${(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{3}{2} x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{3}{2} x - 2)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

${(\frac{3 x}{2} - 2)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache.

$\frac{3 x}{2} - 2 = {(x - 2)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$\frac{3 x}{2} - 2 = (x - 2) (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x}{2} - 2 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x}{2} - 2 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x}{2} - 2 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x}{2} - 2 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 x}{2} - 2 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x}{2} - 2 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{3 x}{2} - 2 = x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 4 x + 4 = \frac{3 x}{2} - 2$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $\frac{3 x}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 4 - \frac{3 x}{2} = - 2$

Schritt 4.2.2

Um $- 4 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - 4 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x}{2} + 4 = - 2$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $- 4 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 4 x \cdot 2}{2} - \frac{3 x}{2} + 4 = - 2$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + 4 = - 2$

Schritt 4.2.5

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.5.1

Schreibe $x^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{x^{2}}{1} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + 4 = - 2$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + 4 = - 2$

Schritt 4.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + 4 = - 2$

Schritt 4.2.5.4

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + \frac{4}{1} = - 2$

Schritt 4.2.5.5

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} = - 2$

Schritt 4.2.5.6

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{- 4 x \cdot 2 - 3 x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} = - 2$

Schritt 4.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - 4 x \cdot 2 - 3 x + 4 \cdot 2}{2} = - 2$

Schritt 4.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.7.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} - 4 x \cdot 2 - 3 x + 4 \cdot 2}{2} = - 2$

Schritt 4.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x + 4 \cdot 2}{2} = - 2$

Schritt 4.2.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 3 x + 8}{2} = - 2$

Schritt 4.2.8

Subtrahiere $3 x$ von $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 x + 8}{2} = - 2$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 11 x + 8}{2} \cdot 2 = - 2 \cdot 2$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} - 11 x + 8}{2} \cdot 2 = - 2 \cdot 2$

Schritt 4.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - 11 x + 8 = - 2 \cdot 2$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 11 x + 8 = - 4$

Schritt 4.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 11 x + 8 + 4 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $8$ und $4$ .

$2 x^{2} - 11 x + 12 = 0$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 12 = 24$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 4.5.3.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$2 x^{2} - 11 x + 12 = 0$

Schritt 4.5.3.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 3$ plus $- 8$

$2 x^{2} + (- 3 - 8) x + 12 = 0$

Schritt 4.5.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 3 x - 8 x + 12 = 0$

Schritt 4.5.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 3 x) - 8 x + 12 = 0$

Schritt 4.5.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 3) - 4 (2 x - 3) = 0$

Schritt 4.5.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x - 4) = 0$

Schritt 4.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4.5.5

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.5.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 4.5.5.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 4.5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 4.5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 4.5.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 4.5.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.5.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 3) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, 4$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $x - 2 = \sqrt{\frac{3}{2} x - 2}$ nicht erfüllen.

$x = 4$