Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{- \frac{y}{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{- \frac{y}{2}} = x$ um.

$\sqrt[3]{- \frac{y}{2}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{- \frac{y}{2}}}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{- \frac{y}{2}}$ als ${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- \frac{y}{2})}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$- \frac{y}{2} = x^{3}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 x^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - 2 x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 2 x^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 2 x^{3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(\sqrt[3]{- \frac{x}{2}})}^{3}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $- \frac{x}{2}$ als ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{2}$ um.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{x}{2})}}^{3}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{x}{2})}}^{3}$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{2}})}^{3}$

Schritt 5.2.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \sqrt[3]{\frac{x}{2}})}^{3}$

Schritt 5.2.6

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}})}^{3}$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))}^{3}$

Schritt 5.2.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3}$

Schritt 5.2.8.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3}$

Schritt 5.2.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})}^{3}$

Schritt 5.2.8.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})}^{3}$

Schritt 5.2.8.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.8.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})}^{3}$

Schritt 5.2.8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})}^{3}$

Schritt 5.2.8.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

Schritt 5.2.8.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.8.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

Schritt 5.2.8.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.8.5.5

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.9.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.9.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.10

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.11

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.11.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2})}^{3})$

Schritt 5.2.11.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}}{2^{3}}))$

Schritt 5.2.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}}{2^{3}})$

Schritt 5.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.13.1

Schreibe ${\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}$ als $x \cdot 4$ um.

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Schritt 5.2.13.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x \cdot 4}$ als ${(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{({(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Schritt 5.2.13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Schritt 5.2.13.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Schritt 5.2.13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.13.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Schritt 5.2.13.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{x \cdot 4}{2^{3}})$

Schritt 5.2.13.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{x \cdot 4}{2^{3}})$

Schritt 5.2.13.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{4 x}{2^{3}})$

Schritt 5.2.14

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.14.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{4 x}{8})$

Schritt 5.2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.14.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x}{8}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 \frac{- 4 x}{8}$

Schritt 5.2.14.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 (- 1) (\frac{- 4 x}{8})$

Schritt 5.2.14.2.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Schritt 5.2.14.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Schritt 5.2.14.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{- 4 x}{4}$

Schritt 5.2.14.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.2.14.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4}$

Schritt 5.2.14.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.14.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 (1)}$

Schritt 5.2.14.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.2.14.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Schritt 5.2.14.3.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 (- x)$

Schritt 5.2.15

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 5.2.15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 1 x$

Schritt 5.2.15.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- 2 x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{- 2 x^{3}}{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{- 2 x^{3}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2 (1)}}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2 \cdot 1}}$

Schritt 5.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{- x^{3}}{1}}$

Schritt 5.3.3.2

Dividiere $- x^{3}$ durch $1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{1 x^{3}}$

Schritt 5.3.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{1 x^{3}}$

Schritt 5.3.4.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (- 2 x^{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$