Algebra Beispiele

$\log_{4} (2 m^{3} - 14 m^{2}) - \log_{4} (2 m) = \log_{4} (8)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{3} - 14 m^{2}}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2 m^{2}$ aus $2 m^{3} - 14 m^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2 m^{2}$ aus $2 m^{3}$ heraus.

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m) - 14 m^{2}}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2 m^{2}$ aus $- 14 m^{2}$ heraus.

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m) + 2 m^{2} (- 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2 m^{2}$ aus $2 m^{2} (m) + 2 m^{2} (- 7)$ heraus.

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m - 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m - 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{4} (\frac{m^{2} (m - 7)}{m}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $m^{2}$ und $m$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $m$ aus $m^{2} (m - 7)$ heraus.

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Potenziere $m$ mit $1$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $m$ aus $m^{1}$ heraus.

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m \cdot 1}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m \cdot 1}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\log_{4} (\frac{m (m - 7)}{1}) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.4.2.5

Dividiere $m (m - 7)$ durch $1$ .

$\log_{4} (m (m - 7)) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{4} (m \cdot m + m \cdot - 7) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$\log_{4} (m^{2} + m \cdot - 7) = \log_{4} (8)$

Schritt 1.6.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $m$ .

$\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \log_{4} (8)$

Schritt 2

Die logarithmische Basis $4$ von $8$ ist $\frac{3}{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{4} (8) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{4} (8) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 8$

Schritt 2.3

Erzeuge Ausdrücke in der Gleichung, die alle die gleiche Basis haben.

${(2^{2})}^{x} = 2^{3}$

Schritt 2.4

Schreibe ${(2^{2})}^{x}$ als $2^{2 x}$ um.

$2^{2 x} = 2^{3}$

Schritt 2.5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 x = 3$

Schritt 2.6

Löse nach $x$ auf.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.7

Die Variable $x$ ist gleich $\frac{3}{2}$ .

$\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \frac{3}{2}$

Schritt 3

Schreibe $\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \frac{3}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{3}{2}} = m^{2} - 7 m$

Schritt 4

Löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $m^{2} - 7 m = 4^{\frac{3}{2}}$ um.

$m^{2} - 7 m = 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache $4^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$m^{2} - 7 m = {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{2} - 7 m = 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m^{2} - 7 m = 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$m^{2} - 7 m = 2^{3}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$m^{2} - 7 m = 8$

Schritt 4.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$m^{2} - 7 m - 8 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $m^{2} - 7 m - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 8, 1$

Schritt 4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(m - 8) (m + 1) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$m - 8 = 0$

$m + 1 = 0$

Schritt 4.6

Setze $m - 8$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $m - 8$ gleich $0$ .

$m - 8 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$m = 8$

Schritt 4.7

Setze $m + 1$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $m + 1$ gleich $0$ .

$m + 1 = 0$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$m = - 1$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(m - 8) (m + 1) = 0$ wahr machen.

$m = 8, - 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{4} (2 m^{3} - 14 m^{2}) - \log_{4} (2 m) = \log_{4} (8)$ nicht erfüllen.

$m = 8$