Algebra Beispiele

$a^{2} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + 1$

Schritt 1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $a^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{a^{2}}{1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + 1$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{a^{2}}{1}$ mit $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a^{2}}{1} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + 1$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{a^{2}}{1}$ mit $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{a^{2} - 1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + 1$

Schritt 1.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{a^{2} - 1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + \frac{1}{1}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{a^{2} - 1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + \frac{1}{1} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{a^{2} - 1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a^{2} (a^{2} - 1) - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot - 1 - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $a^{2}$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2 + 2} + a^{2} \cdot - 1 - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{a^{4} + a^{2} \cdot - 1 - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$\frac{a^{4} - 1 \cdot a^{2} - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.2.4

Schreibe $- 1 a^{2}$ als $- a^{2}$ um.

$\frac{a^{4} - a^{2} - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{4} - a^{2} - a^{4} - 1 \cdot 1 + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{a^{4} - a^{2} - a^{4} - 1 + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{4} - a^{2} - a^{4} - 1 + a^{2} - 1$ .

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Schritt 2.3.1.1

Subtrahiere $a^{4}$ von $a^{4}$ .

$\frac{- a^{2} + 0 - 1 + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.3.1.2

Addiere $- a^{2}$ und $0$ .

$\frac{- a^{2} - 1 + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.3.1.3

Addiere $- a^{2}$ und $a^{2}$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.3.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{a^{2} - 1}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{a^{2} - 1}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- 2}{a^{2} - 1^{2}}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{- 2}{(a + 1) (a - 1)}$

Schritt 4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{(a + 1) (a - 1)}$