Algebra Beispiele

$4 {(3 - x)}^{\frac{4}{3}} - 5 = 59$

Schritt 1

Subtrahiere $59$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 {(3 - x)}^{\frac{4}{3}} - 5 - 59 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $59$ von $- 5$ .

$4 {(3 - x)}^{\frac{4}{3}} - 64 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(3 - x)}^{\frac{4}{3}} - 64$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(3 - x)}^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$4 ({(3 - x)}^{\frac{4}{3}}) - 64 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 64$ heraus.

$4 {(3 - x)}^{\frac{4}{3}} + 4 \cdot - 16 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 {(3 - x)}^{\frac{4}{3}} + 4 \cdot - 16$ heraus.

$4 ({(3 - x)}^{\frac{4}{3}} - 16) = 0$

Schritt 3.2

Schreibe ${(3 - x)}^{\frac{4}{3}}$ als ${({(3 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ um.

$4 ({({(3 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2} - 16) = 0$

Schritt 3.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$4 ({({(3 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(3 - x)}^{\frac{2}{3}}$ und $b = 4$ .

$4 (({(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(3 - x)}^{\frac{2}{3}} - 4)) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1.1

Schreibe ${(3 - x)}^{\frac{2}{3}}$ als ${({(3 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$4 (({(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({({(3 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4)) = 0$

Schritt 3.5.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 (({(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({({(3 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2^{2})) = 0$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(3 - x)}^{\frac{1}{3}}$ und $b = 2$ .

$4 (({(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4) (({(3 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(3 - x)}^{\frac{1}{3}} - 2))) = 0$

Schritt 3.5.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (({(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(3 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(3 - x)}^{\frac{1}{3}} - 2)) = 0$

Schritt 3.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 ({(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(3 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(3 - x)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 5

Setze ${(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze ${(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4$ gleich $0$ .

${(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$

Schritt 5.2

Löse ${(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(3 - x)}^{\frac{2}{3}} = - 4$

Schritt 5.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(3 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache ${({(3 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 - x)}^{1} = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Vereinfache.

$3 - x = \pm {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$3 - x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 3$

Schritt 5.2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.4.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot {(- 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.4.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$ als $- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$ um.

$x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.4.3.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} + 3$

Schritt 5.2.4.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$3 - x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5.2.4.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 3$

Schritt 5.2.4.6

Teile jeden Ausdruck in $- x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.4.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.4.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.6.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{{(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.4.6.3.1.2

Dividiere ${(- 4)}^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.2.4.6.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = {(- 4)}^{\frac{3}{2}} + 3$

Schritt 5.2.4.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} + 3, {(- 4)}^{\frac{3}{2}} + 3$

Schritt 6

Setze ${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze ${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2$ gleich $0$ .

${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Schritt 6.2

Löse ${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} = - 2$

Schritt 6.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(3 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1.1

Vereinfache ${({(3 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 - x)}^{1} = {(- 2)}^{3}$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$3 - x = {(- 2)}^{3}$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$3 - x = - 8$

Schritt 6.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.4.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 8 - 3$

Schritt 6.2.4.1.2

Subtrahiere $3$ von $- 8$ .

$- x = - 11$

Schritt 6.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 11$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 11$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 6.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 6.2.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 6.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.2.3.1

Dividiere $- 11$ durch $- 1$ .

$x = 11$

Schritt 7

Setze ${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze ${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ .

${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 7.2

Löse ${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(3 - x)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Schritt 7.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(3 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache ${({(3 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 - x)}^{1} = 2^{3}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$3 - x = 2^{3}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 - x = 8$

Schritt 7.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.4.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 8 - 3$

Schritt 7.2.4.1.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$- x = 5$

Schritt 7.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 7.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 7.2.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{- 1}$

Schritt 7.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.4.2.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x = - 5$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 ({(3 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4) ({(3 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(3 - x)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - {(- 4)}^{\frac{3}{2}} + 3, {(- 4)}^{\frac{3}{2}} + 3, 11, - 5$