Algebra Beispiele

$m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{m_{0}}{\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}} = m$ um.

$\frac{m_{0}}{\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}} = m$

Schritt 2

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 2.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$m \cdot (\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})}) = m_{0}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $m \cdot (\sqrt{1 - (\frac{v^{2}}{c^{2}})})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$m \cdot \sqrt{1^{2} - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe $\frac{v^{2}}{c^{2}}$ als ${(\frac{v}{c})}^{2}$ um.

$m \cdot \sqrt{1^{2} - {(\frac{v}{c})}^{2}} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{v}{c}$ .

$m \cdot \sqrt{(1 + \frac{v}{c}) (1 - \frac{v}{c})} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$m \cdot \sqrt{(\frac{c}{c} + \frac{v}{c}) (1 - \frac{v}{c})} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$m \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c} (1 - \frac{v}{c})} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$m \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c} (\frac{c}{c} - \frac{v}{c})} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$m \cdot \sqrt{\frac{c + v}{c} \cdot \frac{c - v}{c}} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.3.5

Mutltipliziere $\frac{c + v}{c}$ mit $\frac{c - v}{c}$ .

$m \cdot \sqrt{\frac{(c + v) (c - v)}{c \cdot c}} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.3.6

Mutltipliziere $c$ mit $c$ .

$m \cdot \sqrt{\frac{(c + v) (c - v)}{c^{2}}} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe $\frac{(c + v) (c - v)}{c^{2}}$ als ${(\frac{1}{c})}^{2} ((c + v) (c - v))$ um.

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Schritt 2.2.1.4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(c + v) (c - v)$ heraus.

$m \cdot \sqrt{\frac{1^{2} ((c + v) (c - v))}{c^{2}}} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $c^{2}$ aus $c^{2}$ heraus.

$m \cdot \sqrt{\frac{1^{2} ((c + v) (c - v))}{c^{2} \cdot 1}} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((c + v) (c - v))}{c^{2} \cdot 1}$ um.

$m \cdot \sqrt{{(\frac{1}{c})}^{2} ((c + v) (c - v))} = m_{0}$

Schritt 2.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$m \cdot (\frac{1}{c} \sqrt{(c + v) (c - v)}) = m_{0}$

Schritt 2.2.1.6

Kombiniere $\frac{1}{c}$ und $\sqrt{(c + v) (c - v)}$ .

$\frac{m \sqrt{(c + v) (c - v)}}{c} = m_{0}$

Schritt 3

Löse nach $m \sqrt{(c + v) (c - v)}$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $c$ .

$\frac{m \sqrt{(c + v) (c - v)}}{c} c = m_{0} c$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m \sqrt{(c + v) (c - v)}}{c} c = m_{0} c$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$m \sqrt{(c + v) (c - v)} = m_{0} c$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(m \sqrt{(c + v) (c - v)})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(c + v) (c - v)}$ als ${((c + v) (c - v))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(m {((c + v) (c - v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(m {((c + v) (c - v))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $(c + v) (c - v)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(m {(c (c - v) + v (c - v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(m {(c \cdot c + c (- v) + v (c - v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(m {(c \cdot c + c (- v) + v c + v (- v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $c \cdot c + c (- v) + v c + v (- v)$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $c (- v)$ und $v c$ neu an.

${(m {(c \cdot c - c v + c v + v (- v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Addiere $- c v$ und $c v$ .

${(m {(c \cdot c + 0 + v (- v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Addiere $c \cdot c$ und $0$ .

${(m {(c \cdot c + v (- v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $c$ mit $c$ .

${(m {(c^{2} + v (- v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(m {(c^{2} - v \cdot v)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2.3

Multipliziere $v$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.2.3.1

Bewege $v$ .

${(m {(c^{2} - (v \cdot v))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2.3.2

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

${(m {(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1.2.3.1

Wende die Produktregel auf $m {(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ an.

$m^{2} {({(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{2} {(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m^{2} {(c^{2} - v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$m^{2} {(c^{2} - v^{2})}^{1} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache.

$m^{2} (c^{2} - v^{2}) = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$m^{2} c^{2} + m^{2} (- v^{2}) = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$m^{2} c^{2} - m^{2} v^{2} = {(m_{0} c)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $m_{0} c$ an.

$m^{2} c^{2} - m^{2} v^{2} = {m_{0}}^{2} c^{2}$

Schritt 6

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $m^{2} c^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- m^{2} v^{2} = {m_{0}}^{2} c^{2} - m^{2} c^{2}$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- m^{2} v^{2} = {m_{0}}^{2} c^{2} - m^{2} c^{2}$ durch $- m^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- m^{2} v^{2} = {m_{0}}^{2} c^{2} - m^{2} c^{2}$ durch $- m^{2}$ .

$\frac{- m^{2} v^{2}}{- m^{2}} = \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{- m^{2}} + \frac{- m^{2} c^{2}}{- m^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{m^{2} v^{2}}{m^{2}} = \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{- m^{2}} + \frac{- m^{2} c^{2}}{- m^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m^{2} v^{2}}{m^{2}} = \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{- m^{2}} + \frac{- m^{2} c^{2}}{- m^{2}}$

Schritt 6.2.2.2.2

Dividiere $v^{2}$ durch $1$ .

$v^{2} = \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{- m^{2}} + \frac{- m^{2} c^{2}}{- m^{2}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v^{2} = - \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + \frac{- m^{2} c^{2}}{- m^{2}}$

Schritt 6.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$v^{2} = - \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + \frac{m^{2} c^{2}}{m^{2}}$

Schritt 6.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m^{2}$ .

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Schritt 6.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{2} = - \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + \frac{m^{2} c^{2}}{m^{2}}$

Schritt 6.2.3.1.3.2

Dividiere $c^{2}$ durch $1$ .

$v^{2} = - \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + c^{2}$

Schritt 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$v = \pm \sqrt{- \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + c^{2}}$

Schritt 6.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + c^{2}}$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $c^{2}$ aus $- \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}} + c^{2}$ heraus.

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Schritt 6.4.1.1

Faktorisiere $c^{2}$ aus $- \frac{{m_{0}}^{2} c^{2}}{m^{2}}$ heraus.

$v = \pm \sqrt{c^{2} (- \frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}}) + c^{2}}$

Schritt 6.4.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$v = \pm \sqrt{c^{2} (- \frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}}) + c^{2} \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3

Faktorisiere $c^{2}$ aus $c^{2} (- \frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}}) + c^{2} \cdot 1$ heraus.

$v = \pm \sqrt{c^{2} (- \frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}} + 1)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$v = \pm \sqrt{c^{2} (- \frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}} + 1^{2})}$

Schritt 6.4.2.2

Schreibe $\frac{{m_{0}}^{2}}{m^{2}}$ als ${(\frac{m_{0}}{m})}^{2}$ um.

$v = \pm \sqrt{c^{2} (- {(\frac{m_{0}}{m})}^{2} + 1^{2})}$

Schritt 6.4.2.3

Stelle $- {(\frac{m_{0}}{m})}^{2}$ und $1^{2}$ um.

$v = \pm \sqrt{c^{2} (1^{2} - {(\frac{m_{0}}{m})}^{2})}$

Schritt 6.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{m_{0}}{m}$ .

$v = \pm \sqrt{c^{2} (1 + \frac{m_{0}}{m}) (1 - \frac{m_{0}}{m})}$

Schritt 6.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$v = \pm \sqrt{c^{2} (\frac{m}{m} + \frac{m_{0}}{m}) (1 - \frac{m_{0}}{m})}$

Schritt 6.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \pm \sqrt{c^{2} \frac{m + m_{0}}{m} (1 - \frac{m_{0}}{m})}$

Schritt 6.4.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$v = \pm \sqrt{c^{2} \frac{m + m_{0}}{m} (\frac{m}{m} - \frac{m_{0}}{m})}$

Schritt 6.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \pm \sqrt{c^{2} \frac{m + m_{0}}{m} \frac{m - m_{0}}{m}}$

Schritt 6.4.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.4.8.1

Kombiniere $c^{2}$ und $\frac{m + m_{0}}{m}$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0})}{m} \cdot \frac{m - m_{0}}{m}}$

Schritt 6.4.8.2

Mutltipliziere $\frac{c^{2} (m + m_{0})}{m}$ mit $\frac{m - m_{0}}{m}$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m \cdot m}}$

Schritt 6.4.8.3

Potenziere $m$ mit $1$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m^{1} m}}$

Schritt 6.4.8.4

Potenziere $m$ mit $1$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m^{1} m^{1}}}$

Schritt 6.4.8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m^{1 + 1}}}$

Schritt 6.4.8.6

Addiere $1$ und $1$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m^{2}}}$

Schritt 6.4.9

Schreibe $\frac{c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})}{m^{2}}$ als ${(\frac{c}{m})}^{2} ((m + m_{0}) (m - m_{0}))$ um.

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Schritt 6.4.9.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $c^{2}$ aus $c^{2} (m + m_{0}) (m - m_{0})$ heraus.

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} ((m + m_{0}) (m - m_{0}))}{m^{2}}}$

Schritt 6.4.9.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $m^{2}$ aus $m^{2}$ heraus.

$v = \pm \sqrt{\frac{c^{2} ((m + m_{0}) (m - m_{0}))}{m^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.4.9.3

Ordne den Bruch $\frac{c^{2} ((m + m_{0}) (m - m_{0}))}{m^{2} \cdot 1}$ um.

$v = \pm \sqrt{{(\frac{c}{m})}^{2} ((m + m_{0}) (m - m_{0}))}$

Schritt 6.4.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$v = \pm \frac{c}{m} \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}$

Schritt 6.4.11

Kombiniere $\frac{c}{m}$ und $\sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}$ .

$v = \pm \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

Schritt 6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$v = \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

Schritt 6.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$v = - \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

Schritt 6.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$v = \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

$v = - \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

$v = \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

$v = - \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

$v = \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$

$v = - \frac{c \sqrt{(m + m_{0}) (m - m_{0})}}{m}$