Algebra Beispiele

$f (x) = \log_{3} (\frac{x}{3})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\log_{3} (x) - 1$ nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 1.2

Da $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da $Q (x)$ $1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{1}{3})$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Die logarithmische Basis $3$ von $\frac{1}{3}$ ist $- 1$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{- 1}$

Schritt 2.2.1.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = - 1$

Schritt 2.2.1.5

Die Variable $x$ ist gleich $- 1$ .

$f (1) = - 1$

Schritt 2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 2.3

Konvertiere $- 1$ nach Dezimal.

$y = - 1$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{3}{3})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f (3) = \log_{3} (1)$

Schritt 3.2.2

Die logarithmische Basis $3$ von $1$ ist $0$ .

$f (3) = 0$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 9$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = \log_{3} (\frac{9}{3})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Die logarithmische Basis $3$ von $\frac{9}{3}$ ist $1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{9}{3}$

Schritt 4.2.1.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{1}$

Schritt 4.2.1.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 1$

Schritt 4.2.1.5

Die Variable $x$ ist gleich $1$ .

$f (9) = 1$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 4.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, - 1), (3, 0), (9, 1)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 9 & 1 \end{array}$

Schritt 6