Algebra Beispiele

$\log_{2} (2 w^{2}) - \log_{2} (w + 3) = 3$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{2 w^{2}}{w + 3}) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log_{2} (\frac{2 w^{2}}{w + 3}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{2 w^{2}}{w + 3}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$2 w^{2} = 2^{3} (w + 3)$

Schritt 4

Vereinfache $2^{3} (w + 3)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 w^{2} = 8 (w + 3)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 w^{2} = 8 w + 8 \cdot 3$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$2 w^{2} = 8 w + 24$

Schritt 5

Subtrahiere $8 w$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 w^{2} - 8 w = 24$

Schritt 6

Faktorisiere $2 w$ aus $2 w^{2} - 8 w$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2 w$ aus $2 w^{2}$ heraus.

$2 w (w) - 8 w = 24$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2 w$ aus $- 8 w$ heraus.

$2 w (w) + 2 w (- 4) = 24$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2 w$ aus $2 w (w) + 2 w (- 4)$ heraus.

$2 w (w - 4) = 24$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 w (w - 4) = 24$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 w (w - 4) = 24$ durch $2$ .

$\frac{2 w (w - 4)}{2} = \frac{24}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 w (w - 4)}{2} = \frac{24}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $w (w - 4)$ durch $1$ .

$w (w - 4) = \frac{24}{2}$

Schritt 7.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$w \cdot w + w \cdot - 4 = \frac{24}{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $w$ mit $w$ .

$w^{2} + w \cdot - 4 = \frac{24}{2}$

Schritt 7.2.3.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $w$ .

$w^{2} - 4 w = \frac{24}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $24$ durch $2$ .

$w^{2} - 4 w = 12$

Schritt 8

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$w^{2} - 4 w - 12 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere $w^{2} - 4 w - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(w - 6) (w + 2) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$w - 6 = 0$

$w + 2 = 0$

Schritt 11

Setze $w - 6$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $w - 6$ gleich $0$ .

$w - 6 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$w = 6$

Schritt 12

Setze $w + 2$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $w + 2$ gleich $0$ .

$w + 2 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$w = - 2$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(w - 6) (w + 2) = 0$ wahr machen.

$w = 6, - 2$