Algebra Beispiele

$\frac{p^{2} - 14 p + 40}{16 p^{3}} + \frac{3 p^{2} - 18 p + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $p^{2} - 14 p + 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $40$ und deren Summe $- 14$ ist.

$- 10, - 4$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 p^{2} - 18 p + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 p^{2} - 18 p + 24$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 p^{2}$ heraus.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2}) - 18 p + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 18 p$ heraus.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2}) + 3 (- 6 p) + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 p^{2} + 3 (- 6 p) + 3 \cdot 8}{2 p^{2} - 4 p}$

Schritt 1.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 p^{2} + 3 (- 6 p)$ heraus.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2} - 6 p) + 3 \cdot 8}{2 p^{2} - 4 p}$

Schritt 1.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (p^{2} - 6 p) + 3 \cdot 8$ heraus.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2} - 6 p + 8)}{2 p^{2} - 4 p}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $p^{2} - 6 p + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 ((p - 4) (p - 2))}{2 p^{2} - 4 p}$

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p^{2} - 4 p}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2 p$ aus $2 p^{2} - 4 p$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2 p$ aus $2 p^{2}$ heraus.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p) - 4 p}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $2 p$ aus $- 4 p$ heraus.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p) + 2 p (- 2)}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $2 p$ aus $2 p (p) + 2 p (- 2)$ heraus.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p - 2)}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p - 2$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p - 2)}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4)}{2 p}$

Schritt 2

Um $\frac{3 (p - 4)}{2 p}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8 p^{2}}{8 p^{2}}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4)}{2 p} \cdot \frac{8 p^{2}}{8 p^{2}}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16 p^{3}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{3 (p - 4)}{2 p}$ mit $\frac{8 p^{2}}{8 p^{2}}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{2 p (8 p^{2})}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p \cdot p^{2}}$

Schritt 3.3

Multipliziere $p$ mit $p^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $p^{2}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 (p^{2} p)}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $p^{2}$ mit $p$ .

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $p$ mit $1$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 (p^{2} p^{1})}$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{2 + 1}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{3}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(p - 10) (p - 4) + 3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{3}}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $p - 4$ aus $(p - 10) (p - 4) + 3 (p - 4) (8 p^{2})$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $p - 4$ aus $(p - 10) (p - 4)$ heraus.

$\frac{(p - 4) (p - 10) + 3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{3}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $p - 4$ aus $3 (p - 4) (8 p^{2})$ heraus.

$\frac{(p - 4) (p - 10) + (p - 4) (3 (8 p^{2}))}{16 p^{3}}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $p - 4$ aus $(p - 4) (p - 10) + (p - 4) (3 (8 p^{2}))$ heraus.

$\frac{(p - 4) (p - 10 + 3 (8 p^{2}))}{16 p^{3}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(p - 4) (3 \cdot 8 p^{2} + p - 10)}{16 p^{3}}$

Schritt 5.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 24 \cdot - 10 = - 240$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} + p - 10)}{16 p^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} + 1 p - 10)}{16 p^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe $1$ um als $- 15$ plus $16$

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} + (- 15 + 16) p - 10)}{16 p^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} - 15 p + 16 p - 10)}{16 p^{3}}$

Schritt 5.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(p - 4) ((24 p^{2} - 15 p) + 16 p - 10)}{16 p^{3}}$

Schritt 5.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(p - 4) (3 p (8 p - 5) + 2 (8 p - 5))}{16 p^{3}}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $8 p - 5$ .

$\frac{(p - 4) ((8 p - 5) (3 p + 2))}{16 p^{3}}$

$\frac{(p - 4) (8 p - 5) (3 p + 2)}{16 p^{3}}$