Algebra Beispiele

$2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}$

Schritt 1

Schreibe $2^{- x}$ als Potenz um.

$2^{x} + {(2^{x})}^{- 1} = \frac{5}{2}$

Schritt 2

Ersetze $2^{x}$ durch $u$ .

$u + u^{- 1} = \frac{5}{2}$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 2$

Schritt 4.1.2

Da $1, u, 2$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 2$ und anschließend für den variablen Teil $u^{1}$ .

Schritt 4.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 4.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 4.1.5

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 4.1.6

Das kgV von $1, 1, 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 4.1.7

Der Teiler von $u^{1}$ ist $u$ selbst.

$u^{1} = u$

$u$ occurs $1$ time.

Schritt 4.1.8

Das kgV von $u^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$u$

Schritt 4.1.9

Das kgV von $1, u, 2$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 u$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ mit $2 u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ mit $2 u$ .

$u (2 u) + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 u \cdot u + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Schritt 4.2.2.1.2

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Bewege $u$ .

$2 (u \cdot u) + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$2 u^{2} + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Schritt 4.2.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 u^{2} + 2 \frac{1}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Schritt 4.2.2.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{u}$ .

$2 u^{2} + \frac{2}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Schritt 4.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.2.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 u^{2} + \frac{2}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Schritt 4.2.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 u)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u$ heraus.

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 (u))$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 u)$

Schritt 4.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 u^{2} + 2 = 5 u$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $5 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u^{2} + 2 - 5 u = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.2.1

Stelle die Terme um.

$2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 u$ heraus.

$2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$

Schritt 4.3.2.2.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$2 u^{2} + (- 1 - 4) u + 2 = 0$

Schritt 4.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} - 1 u - 4 u + 2 = 0$

Schritt 4.3.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} - 1 u) - 4 u + 2 = 0$

Schritt 4.3.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u - 1) - 2 (2 u - 1) = 0$

Schritt 4.3.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 2) = 0$

Schritt 4.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 2 = 0$

Schritt 4.3.4

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Löse $2 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 4.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.5

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.5.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 4.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 u - 1) (u - 2) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{2}, 2$

Schritt 5

Setze $\frac{1}{2}$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$\frac{1}{2} = 2^{x}$

Schritt 6

Löse $\frac{1}{2} = 2^{x}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = \frac{1}{2}$ um.

$2^{x} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{x} = \frac{1}{2^{1}}$

Schritt 6.3

Bringe $2^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2^{x} = 2^{- 1}$

Schritt 6.4

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = - 1$

Schritt 7

Setze $2$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$2 = 2^{x}$

Schritt 8

Löse $2 = 2^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 2$ um.

$2^{x} = 2$

Schritt 8.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{1}$

Schritt 8.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 1$

Schritt 9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = - 1, 1$