Algebra Beispiele

$2 (\frac{2 x + 3}{x - 3}) - 25 \frac{x - 3}{2 x + 3} = 5$

Schritt 1

Vereinfache $2 (\frac{2 x + 3}{x - 3}) - 25 \frac{x - 3}{2 x + 3}$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x + 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3} - 25 \frac{x - 3}{2 x + 3} = 5$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $- 25$ und $\frac{x - 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3} + \frac{- 25 (x - 3)}{2 x + 3} = 5$

Schritt 1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3} - \frac{25 (x - 3)}{2 x + 3} = 5$

Schritt 1.2

Um $\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} - \frac{25 (x - 3)}{2 x + 3} = 5$

Schritt 1.3

Um $- \frac{25 (x - 3)}{2 x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} - \frac{25 (x - 3)}{2 x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = 5$

Schritt 1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 3) (2 x + 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 (2 x + 3)}{x - 3}$ mit $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3) (2 x + 3)}{(x - 3) (2 x + 3)} - \frac{25 (x - 3)}{2 x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = 5$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{25 (x - 3)}{2 x + 3}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (2 x + 3) (2 x + 3)}{(x - 3) (2 x + 3)} - \frac{25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (2 x + 3)$ um.

$\frac{2 (2 x + 3) (2 x + 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} - \frac{25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (2 x + 3) (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot 3) (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(4 x + 2 \cdot 3) (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(4 x + 6) (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.4

Multipliziere $(4 x + 6) (2 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (2 x + 3) + 6 (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x + 3) - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.5.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 12 x + 6 \cdot 3 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.5.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 12 x + 18 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.5.2

Addiere $12 x$ und $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 (x - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 + (- 25 x - 25 \cdot - 3) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.7

Mutltipliziere $- 25$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 + (- 25 x + 75) (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.8

Multipliziere $(- 25 x + 75) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x (x - 3) + 75 (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x \cdot x - 25 x \cdot - 3 + 75 (x - 3)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x \cdot x - 25 x \cdot - 3 + 75 x + 75 \cdot - 3}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.9.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.9.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 (x \cdot x) - 25 x \cdot - 3 + 75 x + 75 \cdot - 3}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.9.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x^{2} - 25 x \cdot - 3 + 75 x + 75 \cdot - 3}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.9.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 25$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x^{2} + 75 x + 75 x + 75 \cdot - 3}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.9.1.3

Mutltipliziere $75$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x^{2} + 75 x + 75 x - 225}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.9.2

Addiere $75 x$ und $75 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 18 - 25 x^{2} + 150 x - 225}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.10

Subtrahiere $25 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$\frac{- 17 x^{2} + 24 x + 18 + 150 x - 225}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.11

Addiere $24 x$ und $150 x$ .

$\frac{- 17 x^{2} + 174 x + 18 - 225}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.6.12

Subtrahiere $225$ von $18$ .

$\frac{- 17 x^{2} + 174 x - 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 17 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (17 x^{2}) + 174 x - 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $174 x$ heraus.

$\frac{- (17 x^{2}) - (- 174 x) - 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (17 x^{2}) - (- 174 x)$ heraus.

$\frac{- (17 x^{2} - 174 x) - 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.7.4

Schreibe $- 207$ als $- 1 (207)$ um.

$\frac{- (17 x^{2} - 174 x) - 1 (207)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (17 x^{2} - 174 x) - 1 (207)$ heraus.

$\frac{- (17 x^{2} - 174 x + 207)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.7.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.7.6.1

Schreibe $- (17 x^{2} - 174 x + 207)$ als $- 1 (17 x^{2} - 174 x + 207)$ um.

$\frac{- 1 (17 x^{2} - 174 x + 207)}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 1.7.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{17 x^{2} - 174 x + 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(2 x + 3) (x - 3), 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$(2 x + 3) (x - 3)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{17 x^{2} - 174 x + 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$ mit $(2 x + 3) (x - 3)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{17 x^{2} - 174 x + 207}{(2 x + 3) (x - 3)} = 5$ mit $(2 x + 3) (x - 3)$ .

$- \frac{17 x^{2} - 174 x + 207}{(2 x + 3) (x - 3)} ((2 x + 3) (x - 3)) = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(2 x + 3) (x - 3)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{17 x^{2} - 174 x + 207}{(2 x + 3) (x - 3)}$ in den Zähler.

$\frac{- (17 x^{2} - 174 x + 207)}{(2 x + 3) (x - 3)} ((2 x + 3) (x - 3)) = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- (17 x^{2} - 174 x + 207)}{(2 x + 3) (x - 3)} ((2 x + 3) (x - 3)) = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- (17 x^{2} - 174 x + 207) = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (17 x^{2}) - (- 174 x) - 1 \cdot 207 = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $17$ mit $- 1$ .

$- 17 x^{2} - (- 174 x) - 1 \cdot 207 = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $- 174$ mit $- 1$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 1 \cdot 207 = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $207$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 ((2 x + 3) (x - 3))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(2 x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x^{2} - 6 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x^{2} - 6 x + 3 x - 9)$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 6 x$ und $3 x$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x^{2} - 3 x - 9)$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 5 (2 x^{2}) + 5 (- 3 x) + 5 \cdot - 9$

Schritt 3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 10 x^{2} + 5 (- 3 x) + 5 \cdot - 9$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 10 x^{2} - 15 x + 5 \cdot - 9$

Schritt 3.3.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 = 10 x^{2} - 15 x - 45$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $10 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 - 10 x^{2} = - 15 x - 45$

Schritt 4.1.2

Addiere $15 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 17 x^{2} + 174 x - 207 - 10 x^{2} + 15 x = - 45$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $- 17 x^{2}$ .

$- 27 x^{2} + 174 x - 207 + 15 x = - 45$

Schritt 4.1.4

Addiere $174 x$ und $15 x$ .

$- 27 x^{2} + 189 x - 207 = - 45$

Schritt 4.2

Addiere $45$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 x^{2} + 189 x - 207 + 45 = 0$

Schritt 4.3

Addiere $- 207$ und $45$ .

$- 27 x^{2} + 189 x - 162 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $- 27$ aus $- 27 x^{2} + 189 x - 162$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $- 27$ aus $- 27 x^{2}$ heraus.

$- 27 x^{2} + 189 x - 162 = 0$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $- 27$ aus $189 x$ heraus.

$- 27 x^{2} - 27 (- 7 x) - 162 = 0$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere $- 27$ aus $- 162$ heraus.

$- 27 x^{2} - 27 (- 7 x) - 27 \cdot 6 = 0$

Schritt 4.4.1.4

Faktorisiere $- 27$ aus $- 27 (x^{2}) - 27 (- 7 x)$ heraus.

$- 27 (x^{2} - 7 x) - 27 \cdot 6 = 0$

Schritt 4.4.1.5

Faktorisiere $- 27$ aus $- 27 (x^{2} - 7 x) - 27 (6)$ heraus.

$- 27 (x^{2} - 7 x + 6) = 0$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 6, - 1$

Schritt 4.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 27 ((x - 6) (x - 1)) = 0$

Schritt 4.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 27 (x - 6) (x - 1) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 27 (x - 6) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 1$