Algebra Beispiele

$\log (x) \geq \log (2 x - 1) - \log (3)$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log (x) = \log (2 x - 1) - \log (3)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x) = \log (\frac{2 x - 1}{3})$

Schritt 2.2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x = \frac{2 x - 1}{3}$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$x \cdot 3 = \frac{2 x - 1}{3} \cdot 3$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x = \frac{2 x - 1}{3} \cdot 3$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x = \frac{2 x - 1}{3} \cdot 3$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x = 2 x - 1$

Schritt 2.3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - 2 x = - 1$

Schritt 2.3.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$x = - 1$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log (\frac{3 x}{2 x - 1})$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log (\frac{3 x}{2 x - 1})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{3 x}{2 x - 1} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 x}{2 x - 1}$ .

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Schritt 3.2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x}{2 x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.2.7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 3.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 3.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 2)}{2 (- 2) - 1} > 0$

Schritt 3.2.9.1.3

Die linke Seite $1.2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.25$

Schritt 3.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (0.25)}{2 (0.25) - 1} > 0$

Schritt 3.2.9.2.3

Die linke Seite $- 1.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 3.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (3)}{2 (3) - 1} > 0$

Schritt 3.2.9.3.3

Die linke Seite $1.8$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$x > \frac{1}{2}$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$x > \frac{1}{2}$ Wahr

Schritt 3.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $x > \frac{1}{2}$

Schritt 3.3

Setze den Nenner in $\frac{3 x}{2 x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x > \frac{1}{2}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 6