Algebra Beispiele

$\log_{\sqrt[3]{3}} (x^{10}) + 6 = 36$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Die logarithmische Basis $\sqrt[3]{3}$ von $x^{10}$ ist $N a N$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{\sqrt[3]{3}} (x^{10}) = x + 6 = 36$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\log_{\sqrt[3]{3}} (x^{10}) = x$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

${\sqrt[3]{3}}^{x} = x^{10} + 6 = 36$

Schritt 1.1.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

${\sqrt[3]{3}}^{x} = {\sqrt[3]{3}}^{N a N} + 6 = 36$

Schritt 1.1.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = N a N + 6 = 36$

Schritt 1.1.5

Die Variable $x$ ist gleich $N a N$ .

$N a N + 6 = 36$

Schritt 1.2

Multipliziere $N$ mit $N$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $N$ .

$N \cdot N a + 6 = 36$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $N$ mit $N$ .

$N^{2} a + 6 = 36$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $N$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$N^{2} a = 36 - 6$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6$ von $36$ .

$N^{2} a = 30$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $N^{2} a = 30$ durch $a$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $N^{2} a = 30$ durch $a$ .

$\frac{N^{2} a}{a} = \frac{30}{a}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{N^{2} a}{a} = \frac{30}{a}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $N^{2}$ durch $1$ .

$N^{2} = \frac{30}{a}$

Schritt 4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$N = \pm \sqrt{\frac{30}{a}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{30}{a}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{30}{a}}$ als $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{a}}$ um.

$N = \pm \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{a}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{a}}$ mit $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$ .

$N = \pm \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$

Schritt 5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{a}}$ mit $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$ .

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{\sqrt{a} \sqrt{a}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $\sqrt{a}$ mit $1$ .

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $\sqrt{a}$ mit $1$ .

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1}}$

Schritt 5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{2}}$

Schritt 5.3.6

Schreibe ${\sqrt{a}}^{2}$ als $a$ um.

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Schritt 5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a}$ als $a^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{{(a^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{a^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{a^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{a^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{a^{1}}$

Schritt 5.3.6.5

Vereinfache.

$N = \pm \frac{\sqrt{30} \sqrt{a}}{a}$

Schritt 5.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$N = \pm \frac{\sqrt{30 a}}{a}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$N = \frac{\sqrt{30 a}}{a}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$N = - \frac{\sqrt{30 a}}{a}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$N = \frac{\sqrt{30 a}}{a}$

$N = - \frac{\sqrt{30 a}}{a}$

$N = \frac{\sqrt{30 a}}{a}$

$N = - \frac{\sqrt{30 a}}{a}$

Schritt 7

The variable $x$ got canceled for any value of $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$