Algebra Beispiele

$3 x^{4} - 2 x^{2} = 16$

Schritt 1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{4} - 2 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$3 u^{2} - 2 u - 16 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 u$ heraus.

$3 u^{2} - 2 u - 16 = 0$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 2$ um als $6$ plus $- 8$

$3 u^{2} + (6 - 8) u - 16 = 0$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} + 6 u - 8 u - 16 = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} + 6 u) - 8 u - 16 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 u (u + 2) - 8 (u + 2) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u + 2$ .

$(u + 2) (3 u - 8) = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (3 x^{2} - 8) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$3 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 7

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 7.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 7.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 7.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 7.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 7.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 7.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 8

Setze $3 x^{2} - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $3 x^{2} - 8$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 8.2

Löse $3 x^{2} - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 8$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 8$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 8$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{8}{3}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{8}{3}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{3}$

Schritt 8.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{8}{3}}$ .

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Schritt 8.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{8}{3}}$ als $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.4.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.2.4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.2.4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 8.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 8.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 8.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Schritt 8.2.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Schritt 8.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Schritt 8.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Schritt 8.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 2) (3 x^{2} - 8) = 0$ wahr machen.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, \frac{2 \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$