Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{\frac{\sqrt{x^{6} y^{8} z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{6} y^{8} z$ als ${(x^{3} y^{4})}^{2} z$ um.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

$\sqrt[3]{\frac{\sqrt{{(x^{3})}^{2} y^{8} z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $y^{8}$ als ${(y^{4})}^{2}$ um.

$\sqrt[3]{\frac{\sqrt{{(x^{3})}^{2} {(y^{4})}^{2} z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.1.3

Schreibe ${(x^{3})}^{2} {(y^{4})}^{2}$ als ${(x^{3} y^{4})}^{2}$ um.

$\sqrt[3]{\frac{\sqrt{{(x^{3} y^{4})}^{2} z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt[3]{\frac{x^{3} y^{4} \sqrt{z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2

Schreibe $\frac{x^{3} y^{4} \sqrt{z}}{125 z^{\frac{1}{2}}}$ als ${(\frac{x y}{5})}^{3} \frac{y \sqrt{z}}{z^{\frac{1^{3}}{2}}}$ um.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(x y)}^{3}$ aus $x^{3} y^{4} \sqrt{z}$ heraus.

$\sqrt[3]{\frac{{(x y)}^{3} (y \sqrt{z})}{125 z^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{3}$ aus $125 z^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\sqrt[3]{\frac{{(x y)}^{3} (y \sqrt{z})}{5^{3} z^{\frac{1^{3}}{2}}}}$

Schritt 2.3

Ordne den Bruch $\frac{{(x y)}^{3} (y \sqrt{z})}{5^{3} z^{\frac{1^{3}}{2}}}$ um.

$\sqrt[3]{{(\frac{x y}{5})}^{3} \frac{y \sqrt{z}}{z^{\frac{1^{3}}{2}}}}$

Schritt 3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{x y}{5} \sqrt[3]{\frac{y \sqrt{z}}{z^{\frac{1^{3}}{2}}}}$

Schritt 4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x y}{5} \sqrt[3]{\frac{y \sqrt{z}}{z^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 5

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{y \sqrt{z}}{z^{\frac{1}{2}}}}$ als $\frac{\sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}$ um.

$\frac{x y}{5} \cdot \frac{\sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 6

Kombinieren.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{5 \sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{5 \sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{5 \sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}$

Schritt 8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}}}{5 \sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 \sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}$

Schritt 8.2

Bewege $\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 (\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2})}$

Schritt 8.3

Potenziere $\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 ({\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{1} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2})}$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{1 + 2}}$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{3}}$

Schritt 8.6

Schreibe ${\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{3}$ als $\sqrt{z}$ um.

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Schritt 8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}$ als $z^{\frac{\frac{1}{2}}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {(z^{\frac{\frac{1}{2}}{3}})}^{3}}$

Schritt 8.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {(z^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 8.6.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 8.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {(z^{\frac{1}{2 \cdot 3}})}^{3}}$

Schritt 8.6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 {(z^{\frac{1}{6}})}^{3}}$

Schritt 8.6.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{1}{6} \cdot 3}}$

Schritt 8.6.5

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $3$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{3}{6}}}$

Schritt 8.6.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 8.6.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{3 (1)}{6}}}$

Schritt 8.6.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.6.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}}$

Schritt 8.6.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}}$

Schritt 8.6.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 z^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.6.7

Schreibe $z^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{z}$ um.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Schreibe ${\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{z}$ um.

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Schritt 9.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{z^{\frac{1}{2}}}$ als $z^{\frac{\frac{1}{2}}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {(z^{\frac{\frac{1}{2}}{3}})}^{2}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {(z^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}})}^{2}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.1.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 9.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {(z^{\frac{1}{2 \cdot 3}})}^{2}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} {(z^{\frac{1}{6}})}^{2}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{1}{6} \cdot 2}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.1.5

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $2$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{2}{6}}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 9.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{2 (1)}{6}}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} z^{\frac{1}{3}}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.1.7

Schreibe $z^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{z}$ um.

$\frac{x y \sqrt[3]{y \sqrt{z}} \sqrt[3]{z}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 9.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}}}{5 \sqrt{z}}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}}}{5 \sqrt{z}}$ mit $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}}}{5 \sqrt{z}} \cdot \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$

Schritt 11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}}}{5 \sqrt{z}}$ mit $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 \sqrt{z} \sqrt{z}}$

Schritt 11.2

Bewege $\sqrt{z}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 (\sqrt{z} \sqrt{z})}$

Schritt 11.3

Potenziere $\sqrt{z}$ mit $1$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 ({\sqrt{z}}^{1} \sqrt{z})}$

Schritt 11.4

Potenziere $\sqrt{z}$ mit $1$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 ({\sqrt{z}}^{1} {\sqrt{z}}^{1})}$

Schritt 11.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 {\sqrt{z}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 {\sqrt{z}}^{2}}$

Schritt 11.7

Schreibe ${\sqrt{z}}^{2}$ als $z$ um.

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Schritt 11.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{z}$ als $z^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 z^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 z^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 z^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 z^{1}}$

Schritt 11.7.5

Vereinfache.

$\frac{x y \sqrt[3]{z y \sqrt{z}} \sqrt{z}}{5 z}$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 12.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{z}$ als $z^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x y (z^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{z y \sqrt{z}})}{5 z}$

Schritt 12.1.2

Schreibe $z^{\frac{1}{2}}$ als $z^{\frac{3}{6}}$ um.

$\frac{x y (z^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{z y \sqrt{z}})}{5 z}$

Schritt 12.1.3

Schreibe $z^{\frac{3}{6}}$ als $\sqrt[6]{z^{3}}$ um.

$\frac{x y (\sqrt[6]{z^{3}} \sqrt[3]{z y \sqrt{z}})}{5 z}$

Schritt 12.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{z y \sqrt{z}}$ als ${(z y \sqrt{z})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x y (\sqrt[6]{z^{3}} {(z y \sqrt{z})}^{\frac{1}{3}})}{5 z}$

Schritt 12.1.5

Schreibe ${(z y \sqrt{z})}^{\frac{1}{3}}$ als ${(z y \sqrt{z})}^{\frac{2}{6}}$ um.

$\frac{x y (\sqrt[6]{z^{3}} {(z y \sqrt{z})}^{\frac{2}{6}})}{5 z}$

Schritt 12.1.6

Schreibe ${(z y \sqrt{z})}^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{{(z y \sqrt{z})}^{2}}$ um.

$\frac{x y (\sqrt[6]{z^{3}} \sqrt[6]{{(z y \sqrt{z})}^{2}})}{5 z}$

Schritt 12.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} {(z y \sqrt{z})}^{2}}}{5 z}$

Schritt 12.3

Wende die Produktregel auf $z y \sqrt{z}$ an.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} {(z y)}^{2} {\sqrt{z}}^{2}}}{5 z}$

Schritt 12.4

Wende die Produktregel auf $z y$ an.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) {\sqrt{z}}^{2}}}{5 z}$

Schritt 12.5

Schreibe ${\sqrt{z}}^{2}$ als $z$ um.

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Schritt 12.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{z}$ als $z^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5 z}$

Schritt 12.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) z^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5 z}$

Schritt 12.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) z^{\frac{2}{2}}}}{5 z}$

Schritt 12.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) z^{\frac{2}{2}}}}{5 z}$

Schritt 12.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) z^{1}}}{5 z}$

Schritt 12.5.5

Vereinfache.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} (z^{2} y^{2}) z}}{5 z}$

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3} z^{2} y^{2} z}}{5 z}$

Schritt 12.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 12.6.1

Multipliziere $z^{3}$ mit $z^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.6.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{3 + 2} y^{2} z}}{5 z}$

Schritt 12.6.1.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{5} y^{2} z}}{5 z}$

Schritt 12.6.2

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{y^{2} (z^{5} z^{1})}}{5 z}$

Schritt 12.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x y \sqrt[6]{y^{2} z^{5 + 1}}}{5 z}$

Schritt 12.6.4

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{x y \sqrt[6]{y^{2} z^{6}}}{5 z}$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Stelle $y^{2}$ und $z^{6}$ um.

$\frac{x y \sqrt[6]{z^{6} y^{2}}}{5 z}$

Schritt 13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{x y (z \sqrt[6]{y^{2}})}{5 z}$

Schritt 13.3

Schreibe $\sqrt[6]{y^{2}}$ als $\sqrt[3]{\sqrt{y^{2}}}$ um.

$\frac{x y (z \sqrt[3]{\sqrt{y^{2}}})}{5 z}$

Schritt 13.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{x y z \sqrt[3]{y}}{5 z}$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z$ .

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y z \sqrt[3]{y}}{5 z}$

Schritt 14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \sqrt[3]{y}}{5}$