Algebra Beispiele

${(\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3}{2} i)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $i$ und $\frac{3}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{i \cdot 3}{2})}^{2}$

Schritt 1.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

${(\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2})}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2})}^{2}$ als $(\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2}) (\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2})$ um.

$(\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2}) (\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2}) (\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{3} (\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} (\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} (\frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{3}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5^{1}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} (- \frac{3 i}{2}) - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 i}{2}$ in den Zähler.

$\frac{5}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{- 3 i}{2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 i$ heraus.

$\frac{5}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3 (- i)}{2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{9} + \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3 (- i)}{2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{9} + \sqrt{5} \frac{- i}{2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $\sqrt{5}$ und $\frac{- i}{2}$ .

$\frac{5}{9} + \frac{\sqrt{5} (- i)}{2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{5}{9} + \frac{- \sqrt{5} i}{2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 i}{2}$ in den Zähler.

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{- 3 i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.7.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 i$ heraus.

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{3 (- i)}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{3 (- i)}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{- i}{2} \sqrt{5} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.8

Kombiniere $\frac{- i}{2}$ und $\sqrt{5}$ .

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{- i \sqrt{5}}{2} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} - \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$

Schritt 3.1.10

Multipliziere $- \frac{3 i}{2} (- \frac{3 i}{2})$ .

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Schritt 3.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + 1 \frac{3 i}{2} \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{3 i}{2}$ mit $1$ .

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.10.3

Mutltipliziere $\frac{3 i}{2}$ mit $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + \frac{3 i (3 i)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.10.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + \frac{9 i i}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.10.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + \frac{9 (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.10.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + \frac{9 (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.10.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + \frac{9 i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.10.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + \frac{9 i^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.10.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + \frac{9 i^{2}}{4}$

Schritt 3.1.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.1.12

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} + \frac{- 9}{4}$

Schritt 3.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2} - \frac{9}{4}$

Schritt 3.2

Um $\frac{5}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.3

Um $- \frac{9}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{5 \cdot 4}{36} - \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{36} - \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{5 \cdot 4}{36} - \frac{9 \cdot 9}{36} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 \cdot 4 - 9 \cdot 9}{36} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 - 9 \cdot 9}{36} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$\frac{20 - 81}{36} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $81$ von $20$ .

$\frac{- 61}{36} - \frac{\sqrt{5} i}{2} - \frac{i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 61}{36} + \frac{- \sqrt{5} i - i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $- \sqrt{5} i$ um.

$\frac{- 61}{36} + \frac{- i \sqrt{5} - i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $i \sqrt{5}$ von $- i \sqrt{5}$ .

$\frac{- 61}{36} + \frac{- 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{61}{36} + \frac{- 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i \sqrt{5}$ heraus.

$- \frac{61}{36} + \frac{2 (- i \sqrt{5})}{2}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{61}{36} + \frac{2 (- i \sqrt{5})}{2 (1)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{61}{36} + \frac{2 (- i \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{61}{36} + \frac{- i \sqrt{5}}{1}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $- i \sqrt{5}$ durch $1$ .

$- \frac{61}{36} - i \sqrt{5}$