Algebra Beispiele

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{8}} + \frac{6}{\sqrt{32}}$

Schritt 1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{256}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{256}}{\sqrt{256}} + \frac{3}{\sqrt{8}} + \frac{6}{\sqrt{32}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{256}}$ .

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{2} \sqrt{256}} + \frac{3}{\sqrt{8}} + \frac{6}{\sqrt{32}}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{8}}$ mit $\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{64}}$ .

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{2} \sqrt{256}} + \frac{3}{\sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{64}} + \frac{6}{\sqrt{32}}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{8}}$ mit $\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{64}}$ .

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{2} \sqrt{256}} + \frac{3 \sqrt{64}}{\sqrt{8} \sqrt{64}} + \frac{6}{\sqrt{32}}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{32}}$ mit $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{2} \sqrt{256}} + \frac{3 \sqrt{64}}{\sqrt{8} \sqrt{64}} + \frac{6}{\sqrt{32}} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{16}}$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{32}}$ mit $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{2} \sqrt{256}} + \frac{3 \sqrt{64}}{\sqrt{8} \sqrt{64}} + \frac{6 \sqrt{16}}{\sqrt{32} \sqrt{16}}$

Schritt 1.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{2 \cdot 256}} + \frac{3 \sqrt{64}}{\sqrt{8} \sqrt{64}} + \frac{6 \sqrt{16}}{\sqrt{32} \sqrt{16}}$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $2$ mit $256$ .

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{512}} + \frac{3 \sqrt{64}}{\sqrt{8} \sqrt{64}} + \frac{6 \sqrt{16}}{\sqrt{32} \sqrt{16}}$

Schritt 1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{512}} + \frac{3 \sqrt{64}}{\sqrt{8 \cdot 64}} + \frac{6 \sqrt{16}}{\sqrt{32} \sqrt{16}}$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $8$ mit $64$ .

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{512}} + \frac{3 \sqrt{64}}{\sqrt{512}} + \frac{6 \sqrt{16}}{\sqrt{32} \sqrt{16}}$

Schritt 1.11

Stelle die Faktoren von $\sqrt{32} \sqrt{16}$ um.

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{512}} + \frac{3 \sqrt{64}}{\sqrt{512}} + \frac{6 \sqrt{16}}{\sqrt{16} \sqrt{32}}$

Schritt 1.12

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{512}} + \frac{3 \sqrt{64}}{\sqrt{512}} + \frac{6 \sqrt{16}}{\sqrt{16 \cdot 32}}$

Schritt 1.13

Mutltipliziere $16$ mit $32$ .

$\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{512}} + \frac{3 \sqrt{64}}{\sqrt{512}} + \frac{6 \sqrt{16}}{\sqrt{512}}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{256} + 3 \sqrt{64} + 6 \sqrt{16}}{\sqrt{512}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{16^{2}} + 3 \sqrt{64} + 6 \sqrt{16}}{\sqrt{512}}$

Schritt 2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{16 + 3 \sqrt{64} + 6 \sqrt{16}}{\sqrt{512}}$

Schritt 2.2.3

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{16 + 3 \sqrt{8^{2}} + 6 \sqrt{16}}{\sqrt{512}}$

Schritt 2.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{16 + 3 \cdot 8 + 6 \sqrt{16}}{\sqrt{512}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{16 + 24 + 6 \sqrt{16}}{\sqrt{512}}$

Schritt 2.2.6

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{16 + 24 + 6 \sqrt{4^{2}}}{\sqrt{512}}$

Schritt 2.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{16 + 24 + 6 \cdot 4}{\sqrt{512}}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{16 + 24 + 24}{\sqrt{512}}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.3.1

Addiere $16$ und $24$ .

$\frac{40 + 24}{\sqrt{512}}$

Schritt 2.3.2

Addiere $40$ und $24$ .

$\frac{64}{\sqrt{512}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $512$ als $16^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $256$ aus $512$ heraus.

$\frac{64}{\sqrt{256 (2)}}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$\frac{64}{\sqrt{16^{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{64}{16 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $16$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$\frac{16 \cdot 4}{16 \sqrt{2}}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{16 \cdot 4}{16 (\sqrt{2})}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \cdot 4}{16 \sqrt{2}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{\sqrt{2}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 7.2.4

Dividiere $2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$2.82842712 \dots$