Algebra Beispiele

$- \frac{1}{2} x^{2} + 4 x \leq 1$

Schritt 1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x \leq 1$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{x^{2}}{2} + 4 x - 1 \leq 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 1 \leq 0$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{2} + 8 x - 2 \leq 0$

Schritt 4

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 8 x - 2 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 8$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 2}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $8$ von $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{14}$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 4 + \sqrt{14}, 4 - \sqrt{14}$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 4 - \sqrt{14}$

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$

$x > 4 + \sqrt{14}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 4 - \sqrt{14}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 4 - \sqrt{14}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} + 4 (0) \leq 1$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{1}{2} \cdot {(4)}^{2} + 4 (4) \leq 1$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $8$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4 + \sqrt{14}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4 + \sqrt{14}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{1}{2} \cdot {(10)}^{2} + 4 (10) \leq 1$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 10$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 4 - \sqrt{14}$ Wahr

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ Falsch

$x > 4 + \sqrt{14}$ Wahr

$x < 4 - \sqrt{14}$ Wahr

$4 - \sqrt{14} < x < 4 + \sqrt{14}$ Falsch

$x > 4 + \sqrt{14}$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 4 - \sqrt{14}$ oder $x \geq 4 + \sqrt{14}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq 4 - \sqrt{14} or x \geq 4 + \sqrt{14}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 4 - \sqrt{14}] \cup [4 + \sqrt{14}, \infty)$

Schritt 13