Algebra Beispiele

$x^{6} - 4 x^{4} - 8 x^{4} + 32 x^{2} + 16 x^{2} - 64$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{6} - 8 x^{4} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6} - 8 x^{4} + 16 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$x^{2} x^{4} - 8 x^{4} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 8 x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2}) + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16 - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{4} + x^{2} (- 8 x^{2})$ heraus.

$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16 - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{4} - 8 x^{2}) + x^{2} \cdot 16$ heraus.

$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2} + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x^{2} (u^{2} - 8 u + 16) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x^{2} (u^{2} - 8 u + 4^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Schritt 5.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 4$ .

$x^{2} {(u - 4)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 4)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} {(x^{2} - 2^{2})}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x^{2} {((x + 2) (x - 2))}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

$x^{2} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$

Schritt 10

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x^{4}$ heraus.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 32 x^{2} - 64$

Schritt 10.2

Faktorisiere $4$ aus $32 x^{2}$ heraus.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2}) - 64$

Schritt 10.3

Faktorisiere $4$ aus $- 64$ heraus.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2}) + 4 (- 16)$

Schritt 10.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{4}) + 4 (8 x^{2})$ heraus.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4} + 8 x^{2}) + 4 (- 16)$

Schritt 10.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x^{4} + 8 x^{2}) + 4 (- 16)$ heraus.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- x^{4} + 8 x^{2} - 16)$

Schritt 11

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 16)$

Schritt 12

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 8 u - 16)$

Schritt 13

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 13.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 13.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 u$ heraus.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 8 (u) - 16)$

Schritt 13.1.2

Schreibe $8$ um als $4$ plus $4$

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + (4 + 4) u - 16)$

Schritt 13.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (- u^{2} + 4 u + 4 u - 16)$

Schritt 13.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 13.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- u^{2} + 4 u) + 4 u - 16)$

Schritt 13.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 (u (- u + 4) - 4 (- u + 4))$

Schritt 13.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 4$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- u + 4) (u - 4))$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- x^{2} + 4) (x^{2} - 4))$

Schritt 15

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} - 4))$

Schritt 16

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2^{2} - x^{2}) (x^{2} - 4))$

Schritt 17

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x^{2} - 4))$

Schritt 18

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x^{2} - 2^{2}))$

Schritt 19

Faktorisiere.

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Schritt 19.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) ((x + 2) (x - 2)))$

Schritt 19.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((2 + x) (2 - x) (x + 2) (x - 2))$

Schritt 20

Faktorisiere.

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Schritt 20.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 20.1.1

Stelle die Terme um.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ((x + 2) (2 - x) (x + 2) (x - 2))$

Schritt 20.1.2

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1} (x + 2) (2 - x) (x - 2))$

Schritt 20.1.3

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (2 - x) (x - 2))$

Schritt 20.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{1 + 1} (2 - x) (x - 2))$

Schritt 20.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (2 - x) (x - 2))$

Schritt 20.1.6

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2) - x) (x - 2))$

Schritt 20.1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2) - (x)) (x - 2))$

Schritt 20.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2 + x)) (x - 2))$

Schritt 20.1.9

Entferne die Klammern.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 (- 2 + x) (x - 2))$

Schritt 20.1.10

Stelle die Terme um.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 (x - 2) (x - 2))$

Schritt 20.1.11

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)))$

Schritt 20.1.12

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}))$

Schritt 20.1.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1})$

Schritt 20.1.14

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 ({(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{2})$

Schritt 20.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 4 {(x + 2)}^{2} \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 21

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 21.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - (4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})$

Schritt 21.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})$

Schritt 22

Entferne die Klammern.

$x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$

Schritt 23

Faktorisiere ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ aus $x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ heraus.

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Schritt 23.1

Faktorisiere ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ aus $x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ heraus.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) - 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$

Schritt 23.2

Faktorisiere ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ aus $- 4 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ heraus.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) + {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (- 4)$

Schritt 23.3

Faktorisiere ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ aus ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2}) + {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (- 4)$ heraus.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} - 4)$

Schritt 24

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} - 2^{2})$

Schritt 25

Faktorisiere.

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Schritt 25.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} ((x + 2) (x - 2))$

Schritt 25.2

Entferne unnötige Klammern.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x + 2) (x - 2)$

Schritt 26

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 26.1

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

${(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Schritt 26.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 2)}^{1 + 2} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Schritt 26.3

Addiere $1$ und $2$ .

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Schritt 26.4

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

${(x + 2)}^{3} ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2})$

Schritt 26.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{1 + 2}$

Schritt 26.6

Addiere $1$ und $2$ .

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$