Algebra Beispiele

$3 x + 2 x^{2} = 5 x^{2} - 6$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $5 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + 2 x^{2} - 5 x^{2} = - 6$

Schritt 1.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + 2 x^{2} - 5 x^{2} + 6 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$3 x - 3 x^{2} + 6 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 3 x^{2} + 6$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$3 (x) - 3 x^{2} + 6 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$3 (x) + 3 (- x^{2}) + 6 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (x) + 3 (- x^{2}) + 3 (2) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- x^{2})$ heraus.

$3 (x - x^{2}) + 3 (2) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - x^{2}) + 3 (2)$ heraus.

$3 (x - x^{2} + 2) = 0$

Schritt 4

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$3 (u - u^{2} + 2) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Stelle die Terme um.

$3 (- u^{2} + u + 2) = 0$

Schritt 5.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$3 (- u^{2} + 1 u + 2) = 0$

Schritt 5.2.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$3 (- u^{2} + (- 1 + 2) u + 2) = 0$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- u^{2} - 1 u + 2 u + 2) = 0$

Schritt 5.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 ((- u^{2} - 1 u) + 2 u + 2) = 0$

Schritt 5.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 (u (- u - 1) - 2 (- u - 1)) = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 1$ .

$3 ((- u - 1) (u - 2)) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$3 ((- x - 1) (x - 2)) = 0$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (- x - 1) (x - 2) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 8

Setze $- x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $- x - 1$ gleich $0$ .

$- x - 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $- x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 1$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 8.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x = - 1$

Schritt 9

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (- x - 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 2$