Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{4 x^{2} + 2 x - 8} = x$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{4 x^{2} + 2 x - 8}}^{3} = x^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 x^{2} + 2 x - 8}$ als ${(4 x^{2} + 2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(4 x^{2} + 2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(4 x^{2} + 2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x^{2} + 2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} + 2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x^{2} + 2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x^{2} + 2 x - 8)}^{1} = x^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$4 x^{2} + 2 x - 8 = x^{3}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 2 x - 8 - x^{3} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Stelle die Terme um.

$- x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- x^{3} + 4 x^{2}) + 2 x - 8 = 0$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (- x + 4) - 2 (- x + 4) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 4$ .

$(- x + 4) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x + 4 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.4

Setze $- x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $- x + 4$ gleich $0$ .

$- x + 4 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $- x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 3.5

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 3.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 3.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 3.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- x + 4) (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 4, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 4, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$