Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 3$

Schritt 7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.2.1

Stelle die Terme um.

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

Schritt 7.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $13$ aus $13 u$ heraus.

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

Schritt 7.2.2.2

Schreibe $13$ um als $6$ plus $7$

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

Schritt 7.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

Schritt 7.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

Schritt 7.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

Schritt 7.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 9

Setze $- x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $- x + 6$ gleich $0$ .

$- x + 6 = 0$

Schritt 9.2

Löse $- x + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 6$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 9.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 9.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$x = 6$

Schritt 10

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 10.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- x + 6) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 7$

Schritt 12

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 6, - 3$

$x = 6, 7$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 6, - 3, 6, 7$

Schritt 14

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ .

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Schritt 14.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

Schritt 14.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 14.2.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

Schritt 14.2.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 14.2.1.2.1

Stelle die Terme um.

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

Schritt 14.2.1.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 14.2.1.2.2.1

Faktorisiere $13$ aus $13 u$ heraus.

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

Schritt 14.2.1.2.2.2

Schreibe $13$ um als $6$ plus $7$

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

Schritt 14.2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

Schritt 14.2.1.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 14.2.1.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

Schritt 14.2.1.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

Schritt 14.2.1.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

Schritt 14.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

Schritt 14.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 14.2.3

Setze $- x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.3.1

Setze $- x + 6$ gleich $0$ .

$- x + 6 = 0$

Schritt 14.2.3.2

Löse $- x + 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 6$

Schritt 14.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 14.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 14.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 14.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$x = 6$

Schritt 14.2.4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 14.2.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 14.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- x + 6) (x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 7$

Schritt 14.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 15

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 16

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 16.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 16.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 18}{13 (- 6) - {(- 6)}^{2} - 42} \geq 0$

Schritt 16.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{230769}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 16.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 16.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18}{13 (0) - {(0)}^{2} - 42} \geq 0$

Schritt 16.2.3

Die linke Seite $0.\overline{428571}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 16.3

Teste einen Wert im Intervall $6 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $6 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6.5$

Schritt 16.3.2

Ersetze $x$ durch $6.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6.5)}^{2} - 3 \cdot 6.5 - 18}{13 (6.5) - {(6.5)}^{2} - 42} \geq 0$

Schritt 16.3.3

Die linke Seite $19$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 16.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 16.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 16.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(10)}^{2} - 3 \cdot 10 - 18}{13 (10) - {(10)}^{2} - 42} \geq 0$

Schritt 16.4.3

Die linke Seite $- 4.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 16.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 6$ Wahr

$6 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 6$ Wahr

$6 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 17

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 \leq x < 6$ oder $6 < x < 7$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 3 \leq x < 6 or 6 < x < 7$

Intervallschreibweise:

$[- 3, 6) \cup (6, 7)$

Schritt 19