Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{2} - 1}{10}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{2} - 1}{10}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2} - 1}{10} = x$ um.

$\frac{y^{2} - 1}{10} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $10$ .

$10 \frac{y^{2} - 1}{10} = 10 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \frac{y^{2} - 1}{10} = 10 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} - 1 = 10 x$

Schritt 3.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = 10 x + 1$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{10 x + 1}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{10 x + 1}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{10 x + 1}$

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

$y = \sqrt{10 x + 1}$

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

$y = \sqrt{10 x + 1}$

$y = - \sqrt{10 x + 1}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ und $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{10 x + 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{10 x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$10 x + 1 \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$10 x \geq - 1$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x \geq - 1$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x \geq - 1$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} \geq \frac{- 1}{10}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} \geq \frac{- 1}{10}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{10}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{1}{10}$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{1}{10}, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt{10 x + 1}, - \sqrt{10 x + 1}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{10}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6