Algebra Beispiele

$\log_{5} ({(2 x - 3)}^{2}) = 6$

Schritt 1

Schreibe in Exponentialform.

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Schritt 1.1

Für logarithmische Gleichungen ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ mit $x > 0$ , $b > 0$ , and $b \neq 1$ . In diesem Fall: $b = 5$ , $x = {(2 x - 3)}^{2}$ und $y = 6$ .

$b = 5$

$x = {(2 x - 3)}^{2}$

$y = 6$

Schritt 1.2

Setze die Werte von $b$ , $x$ , und $y$ in die Gleichung $b^{y} = x$ ein.

$5^{6} = {(2 x - 3)}^{2}$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(2 x - 3)}^{2} = 5^{6}$ um.

${(2 x - 3)}^{2} = 5^{6}$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$2 x - 3 = \pm \sqrt{5^{6}}$

Schritt 2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{5^{6}}$ .

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Schritt 2.3.1

Potenziere $5$ mit $6$ .

$2 x - 3 = \pm \sqrt{15625}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $15625$ als $125^{2}$ um.

$2 x - 3 = \pm \sqrt{125^{2}}$

Schritt 2.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 x - 3 = \pm 125$

Schritt 2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$2 x - 3 = 125$

Schritt 2.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 125 + 3$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $125$ und $3$ .

$2 x = 128$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 128$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 128$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{128}{2}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{128}{2}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{128}{2}$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.1

Dividiere $128$ durch $2$ .

$x = 64$

Schritt 2.4.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$2 x - 3 = - 125$

Schritt 2.4.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.5.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 125 + 3$

Schritt 2.4.5.2

Addiere $- 125$ und $3$ .

$2 x = - 122$

Schritt 2.4.6

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 122$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 122$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 122}{2}$

Schritt 2.4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 122}{2}$

Schritt 2.4.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 122}{2}$

Schritt 2.4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.6.3.1

Dividiere $- 122$ durch $2$ .

$x = - 61$

Schritt 2.4.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 64, - 61$