Algebra Beispiele

$x = - \frac{1}{2} y^{2} - 4 y - 7$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{2} y^{2} - 4 y - 7 = x$ um.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 4 y - 7 = x$

Schritt 1.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 7 = x$

Schritt 1.3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 7 - x = 0$

Schritt 1.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 4 y) + 2 \cdot - 7 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2}}{2}$ in den Zähler.

$2 (\frac{- y^{2}}{2}) + 2 (- 4 y) + 2 \cdot - 7 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{- y^{2}}{2}) + 2 (- 4 y) + 2 \cdot - 7 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- y^{2} + 2 (- 4 y) + 2 \cdot - 7 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$- y^{2} - 8 y + 2 \cdot - 7 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$- y^{2} - 8 y - 14 + 2 (- x) = 0$

Schritt 1.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- y^{2} - 8 y - 14 - 2 x = 0$

Schritt 1.4.3

Bewege $- 14$ .

$- y^{2} - 8 y - 2 x - 14 = 0$

Schritt 1.4.4

Bewege $- 8 y$ .

$- y^{2} - 2 x - 8 y - 14 = 0$

Schritt 1.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.6

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 8$ und $c = - 2 x - 14$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 2 x - 14))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2 x - 14)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot (- 2 x - 14)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 x + 4 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 14$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 x - 56}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.6

Subtrahiere $56$ von $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 8 x + 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.7

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x + 8$ heraus.

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Schritt 1.7.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (- x) + 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (- x) + 8 (1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (1)$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (- x + 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.8

Schreibe $8 (- x + 1)$ als $2^{2} \cdot (2 (- x + 1^{2}))$ um.

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Schritt 1.7.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (- x + 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 1))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.8.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 2}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 1}$

Schritt 1.7.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$

Schritt 1.7.5

Schreibe $- 1 \cdot (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$ als $- (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$ um.

$y = - (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$

Schritt 1.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2 x - 14)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot (- 2 x - 14)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 x + 4 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 14$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 x - 56}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.6

Subtrahiere $56$ von $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 8 x + 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.7

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x + 8$ heraus.

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Schritt 1.8.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (- x) + 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (- x) + 8 (1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (1)$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (- x + 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.8

Schreibe $8 (- x + 1)$ als $2^{2} \cdot (2 (- x + 1^{2}))$ um.

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Schritt 1.8.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (- x + 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 1))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.8.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 2}$

Schritt 1.8.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 1}$

Schritt 1.8.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$

Schritt 1.8.5

Schreibe $- 1 \cdot (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$ als $- (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$ um.

$y = - (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$

Schritt 1.8.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - (4 + \sqrt{2 (- x + 1)})$

Schritt 1.8.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$

Schritt 1.8.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$

Schritt 1.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2 x - 14)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot (- 2 x - 14)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 x + 4 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 14$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 x - 56}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.6

Subtrahiere $56$ von $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{- 8 x + 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.7

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x + 8$ heraus.

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Schritt 1.9.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (- x) + 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (- x) + 8 (1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.7.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- x) + 8 (1)$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (- x + 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.8

Schreibe $8 (- x + 1)$ als $2^{2} \cdot (2 (- x + 1^{2}))$ um.

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Schritt 1.9.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (- x + 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 1))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.8.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x + 1^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 2}$

Schritt 1.9.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 1}$

Schritt 1.9.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$

Schritt 1.9.5

Schreibe $- 1 \cdot (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$ als $- (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$ um.

$y = - (4 \pm \sqrt{2 (- x + 1)})$

Schritt 1.9.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - (4 - \sqrt{2 (- x + 1)})$

Schritt 1.9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$

Schritt 1.9.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$

Schritt 1.9.9

Multipliziere $- - \sqrt{2 (- x + 1)}$ .

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Schritt 1.9.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - 4 + 1 \sqrt{2 (- x + 1)}$

Schritt 1.9.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{2 (- x + 1)}$ mit $1$ .

$y = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$

Schritt 1.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$

$y = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$

$y = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$

$y = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$

Schritt 2

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 3

Die Standardform ist $- 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}, - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$ .

$y = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$

$y = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$

Schritt 4