Algebra Beispiele

$(\frac{a - 1}{3 a + {(a - 1)}^{2}} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} + 1}{a - 1}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$(\frac{a - 1}{3 a + {(a - 1)}^{2}} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(a - 1)}^{2}$ als $(a - 1) (a - 1)$ um.

$(\frac{a - 1}{3 a + (a - 1) (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(a - 1) (a - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{a - 1}{3 a + a (a - 1) - 1 (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{a - 1}{3 a + a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{a - 1}{3 a + a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - 1 \cdot a - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.1.3.1.3

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - 1 a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.1.3.1.4

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - a - 1 \cdot - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - a - a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $a$ von $- a$ .

$(\frac{a - 1}{3 a + a^{2} - 2 a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $2 a$ von $3 a$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{a^{3} - 1^{3}} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1^{2})} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 2.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 3

Um $\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$(\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{a - 1}{a^{2} + a + 1}$ mit $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$(\frac{(a - 1) (a - 1)}{(a^{2} + a + 1) (a - 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ um.

$(\frac{(a - 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1 - 3 a + a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(\frac{(a - 1) (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(a - 1) (a - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{a (a - 1) - 1 (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 (a - 1) - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{a \cdot a + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$(\frac{a^{2} + a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$(\frac{a^{2} - 1 \cdot a - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$(\frac{a^{2} - a - 1 a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$(\frac{a^{2} - a - a - 1 \cdot - 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(\frac{a^{2} - a - a + 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $a$ von $- a$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - (1 - 3 a + a^{2})}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 \cdot 1 - (- 3 a) - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 - (- 3 a) - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$(\frac{a^{2} - 2 a + 1 - 1 + 3 a - a^{2}}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$(\frac{- 2 a + 1 - 1 + 3 a + 0}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.6

Addiere $- 2 a + 1 - 1 + 3 a$ und $0$ .

$(\frac{- 2 a + 1 - 1 + 3 a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.7

Addiere $- 2 a$ und $3 a$ .

$(\frac{a + 1 - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.8

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$(\frac{a + 0}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 6.9

Addiere $a$ und $0$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 7

Um $- \frac{1}{a - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a - 1} \cdot \frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{a - 1}$ mit $\frac{a^{2} + a + 1}{a^{2} + a + 1}$ .

$(\frac{a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a^{2} + a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}) \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a - (a^{2} + a + 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a - a^{2} - a - 1 \cdot 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{a - a^{2} - a - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 9.3

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$\frac{- a^{2} + 0 - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 9.4

Addiere $- a^{2}$ und $0$ .

$\frac{- a^{2} - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 1$ .

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Schritt 10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- a^{2} - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} \cdot \frac{a - 1}{a^{2} + 1}$

Schritt 10.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- a^{2} - 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{1}{a^{2} + 1}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{- a^{2} - 1}{a^{2} + a + 1}$ mit $\frac{1}{a^{2} + 1}$ .

$\frac{- a^{2} - 1}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- a^{2} - 1$ und $a^{2} + 1$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- a^{2}$ heraus.

$\frac{- (a^{2}) - 1}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Schritt 10.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (a^{2}) - 1 (1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Schritt 10.3.4

Schreibe $- (a^{2} + 1)$ als $- 1 (a^{2} + 1)$ um.

$\frac{- 1 (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Schritt 10.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (a^{2} + 1)}{(a^{2} + a + 1) (a^{2} + 1)}$

Schritt 10.3.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{a^{2} + a + 1}$

Schritt 10.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{a^{2} + a + 1}$