Algebra Beispiele

$y = x^{2} + 1$ $x^{2} + y^{2} = 1$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $x^{2} + 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 1$ durch $x^{2} + 1$ .

$x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{2} = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$x^{2} + (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{2} + x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

$x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2

Löse in $x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 3 u + 1 = 1$

$u = x^{2}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 3 u + 1 - 1 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $u^{2} + 3 u + 1 - 1$ .

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u^{2} + 3 u + 0 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $u^{2} + 3 u$ und $0$ .

$u^{2} + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

$u^{2} + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.4

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} + 3 u$ heraus.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u + 3 u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $u$ aus $3 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot 3$ heraus.

$u (u + 3) = 0$

$y = x^{2} + 1$

$u (u + 3) = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u + 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.6

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.7

Setze $u + 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $u + 3$ gleich $0$ .

$u + 3 = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 3$

$y = x^{2} + 1$

$u = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u + 3) = 0$ wahr machen.

$u = 0, - 3$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.11.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.11.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.11.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 3$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.13.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.13.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 2.13.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.13.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.13.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = \pm i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.13.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.13.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.13.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.13.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 2.14

Die Lösung von $x^{4} + 3 x^{2} + 1 = 1$ ist $x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$y = x^{2} + 1$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} + 1$ durch $0$ .

$y = {(0)}^{2} + 1$

$x = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} + 1$ .

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 1$

$x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $i \sqrt{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} + 1$ durch $i \sqrt{3}$ .

$y = {(i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{3}$ an.

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.1.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} + 1$ durch $0$ .

$y = {(0)}^{2} + 1$

$x = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} + 1$ .

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 + 1$

$x = 0$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

$y = 1$

$x = 0$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $i \sqrt{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} + 1$ durch $i \sqrt{3}$ .

$y = {(i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $i \sqrt{3}$ an.

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.1.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.2.1.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- i \sqrt{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{2} + 1$ durch $- i \sqrt{3}$ .

$y = {(- i \sqrt{3})}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache ${(- i \sqrt{3})}^{2} + 1$ .

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- i \sqrt{3}$ an.

$y = {(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- i$ an.

$y = {(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = {(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.3

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$y = i^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.4

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$y = - 1 {\sqrt{3}}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.2.1.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 1 \cdot 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 3 + 1$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

$y = - 2$

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$y = 1, x = 0$

$y = - 2, x = i \sqrt{3}$

$y = - 2, x = - i \sqrt{3}$

Schritt 9