Algebra Beispiele

$(a + b - \frac{2 a b}{a + b}) \div (\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a})$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$

Schritt 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(a + b) a$ .

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$ mit $\frac{(a + b) a}{(a + b) a}$ .

$\frac{(a + b) a}{(a + b) a} \cdot \frac{a + b - \frac{2 a b}{a + b}}{\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}}$

Schritt 2.2

Kombinieren.

$\frac{(a + b) a (a + b - \frac{2 a b}{a + b})}{(a + b) a (\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a})}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a (- \frac{2 a b}{a + b})}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + b$ .

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Schritt 4.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 a b}{a + b}$ in den Zähler.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $a + b$ aus $(a + b) a$ heraus.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) (a) \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + (a + b) a \frac{- 2 a b}{a + b}}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b + a (- 2 a b)}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 (a^{1} a) b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 (a^{1} a^{1}) b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{1 + 1} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + b$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $a + b$ aus $(a + b) a$ heraus.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) (a) \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{(a + b) a \frac{a - b}{a + b} + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) a \frac{b}{a}}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $a$ aus $(a + b) a$ heraus.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + a (a + b) \frac{b}{a}}$

Schritt 4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + a (a + b) \frac{b}{a}}$

Schritt 4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a^{2}$ aus $(a + b) a \cdot a + (a + b) a b - 2 a^{2} b$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $a^{2}$ aus $(a + b) a \cdot a$ heraus.

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + (a + b) a b - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $a^{2}$ aus $(a + b) a b$ heraus.

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b) - 2 a^{2} b}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $a^{2}$ aus $- 2 a^{2} b$ heraus.

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{2} ((a + b) a^{- 1} a) + a^{2} ((a + b) a^{- 1} b)$ heraus.

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b) + a^{2} (- 2 b)$ heraus.

$\frac{a^{2} ((a + b) a^{- 1} a + (a + b) a^{- 1} b - 2 b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 5.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{a^{2} (- 2 b + a \cdot a^{- 1} (a + b) + b a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.1.2

Stelle $a \cdot a^{- 1} (a + b)$ und $b a^{- 1} (a + b)$ um.

$\frac{a^{2} (- 2 b + b a^{- 1} (a + b) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $1$ aus $b a^{- 1} (a + b)$ heraus.

$\frac{a^{2} (- 2 b + 1 (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.1.4

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$\frac{a^{2} (- 2 b + (- 1 + 2) (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 (b a^{- 1} (a + b)) + 2 (b a^{- 1} (a + b)) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a \cdot a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1

Multipliziere $a$ mit $a^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{1} a^{- 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{1 - 1} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a^{0} (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache $a^{0}$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + 1 (a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $a + b$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (- 2 b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a + b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.3

Addiere $- 2 b$ und $b$ .

$\frac{a^{2} (- b - 1 b a^{- 1} (a + b) + 2 b a^{- 1} (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.4

Addiere $- 1 b a^{- 1} (a + b)$ und $2 b a^{- 1} (a + b)$ .

$\frac{a^{2} (- b + 1 b a^{- 1} (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- b + 1 b a^{- 1} (a + b) + a$ heraus.

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Schritt 5.2.5.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 5.2.5.1.1

Bewege $b$ .

$\frac{a^{2} (- b + 1 a^{- 1} b (a + b) + a)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.5.1.2

Bewege $- b$ .

$\frac{a^{2} (1 a^{- 1} b (a + b) + a - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $1 a^{- 1} b (a + b)$ heraus.

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) + a - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $a$ heraus.

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a) - b)}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- b$ heraus.

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a) - (b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- a^{- 1} b (a + b)) - 1 (- a)$ heraus.

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b) - a) - (b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- a^{- 1} b (a + b) - a) - (b)$ heraus.

$\frac{a^{2} (- (- a^{- 1} b (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{1}{a} b (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.7

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b}{a} (a + b) - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 5.2.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{b}{a}$ in den Zähler.

$\frac{a^{2} (- (\frac{- b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} (- (\frac{- b}{a} a - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b}{a} b - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.10

Multipliziere $- \frac{b}{a} b$ .

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Schritt 5.2.10.1

Kombiniere $b$ und $\frac{b}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b \cdot b}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.10.2

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1} b}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.10.3

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1} b^{1}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{1 + 1}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} (- (- b - \frac{b^{2}}{a} - a + b))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.11

Addiere $- b$ und $b$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a + 0))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.2.12

Addiere $- \frac{b^{2}}{a} - a$ und $0$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.3

Um $- a$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} - a \cdot \frac{a}{a}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.4

Kombiniere $- a$ und $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a^{2} (- (- \frac{b^{2}}{a} + \frac{- a \cdot a}{a}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - a \cdot a}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.6

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.1

Bewege $a$ .

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - (a \cdot a)}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} (- \frac{- b^{2} - a^{2}}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

$\frac{a^{2} \cdot - 1 \frac{- b^{2} - a^{2}}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (a^{2} \frac{- b^{2} - a^{2}}{a})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.7.2

Kombiniere $a^{2}$ und $\frac{- b^{2} - a^{2}}{a}$ .

$\frac{- \frac{a^{2} (- b^{2} - a^{2})}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a^{2}$ und $a$ .

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Schritt 5.8.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2} (- b^{2} - a^{2})$ heraus.

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.8.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a^{1}}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.8.2.2

Faktorisiere $a$ aus $a^{1}$ heraus.

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a \cdot 1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{a (a (- b^{2} - a^{2}))}{a \cdot 1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.8.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{a (- b^{2} - a^{2})}{1}}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.8.2.5

Dividiere $a (- b^{2} - a^{2})$ durch $1$ .

$\frac{- (a (- b^{2} - a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (a (- b^{2}) + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- (- a b^{2} + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- (- a b^{2} - a \cdot a^{2})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.12

Multipliziere $a$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.12.1

Bewege $a^{2}$ .

$\frac{- (- a b^{2} - (a^{2} a))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.12.2

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $a$ .

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Schritt 5.12.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{- (- a b^{2} - (a^{2} a^{1}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- (- a b^{2} - a^{2 + 1})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.12.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- (- a b^{2} - a^{3})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.13

Faktorisiere $a$ aus $- a b^{2} - a^{3}$ heraus.

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Schritt 5.13.1

Faktorisiere $a$ aus $- a b^{2}$ heraus.

$\frac{- (a (- b^{2}) - a^{3})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.13.2

Faktorisiere $a$ aus $- a^{3}$ heraus.

$\frac{- (a (- b^{2}) + a (- a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 5.13.3

Faktorisiere $a$ aus $a (- b^{2}) + a (- a^{2})$ heraus.

$\frac{- (a (- b^{2} - a^{2}))}{a (a - b) + (a + b) b}$

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a (a - b) + (a + b) b}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a \cdot a + a (- b) + (a + b) b}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + a (- b) + (a + b) b}$

Schritt 6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + (a + b) b}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + a b + b \cdot b}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} - a b + a b + b^{2}}$

Schritt 6.6

Addiere $- a b$ und $a b$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + 0 + b^{2}}$

Schritt 6.7

Addiere $a^{2}$ und $0$ .

$\frac{- a (- b^{2} - a^{2})}{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- b^{2} - a^{2}$ und $a^{2} + b^{2}$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- b^{2}$ heraus.

$\frac{- a (- (b^{2}) - a^{2})}{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- a^{2}$ heraus.

$\frac{- a (- (b^{2}) - (a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b^{2}) - (a^{2})$ heraus.

$\frac{- a (- (b^{2} + a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 7.4

Schreibe $- (b^{2} + a^{2})$ als $- 1 (b^{2} + a^{2})$ um.

$\frac{- a (- 1 (b^{2} + a^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 7.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- a (- 1 (a^{2} + b^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- a (- 1 (a^{2} + b^{2}))}{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 7.7

Dividiere $- a \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$- a \cdot (- 1)$

Schritt 8

Multipliziere $- a (- 1)$ .

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 a$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a$