Algebra Beispiele

$\log (x + y) = \frac{1}{2} (\log (x) + \log (y)) + \log (2)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x + y) = \frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log (x)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log (y)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ mit $2$ .

$\log (x + y) \cdot 2 = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\log (x + y)$ .

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + \log (2) \cdot 2$

Schritt 2.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\log (2)$ .

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 \log (x + y)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$ .

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + 2 \log (2)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache $2 \log (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (2^{2})$

Schritt 4.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (4)$

Schritt 4.1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y \cdot 4)$

Schritt 4.1.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x y$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (4 x y)$

Schritt 5

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

${(x + y)}^{2} = 4 x y$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere $4 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + y)}^{2} - 4 x y = 0$

Schritt 6.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$(x + y) (x + y) - 4 x y = 0$

Schritt 6.1.2.2

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + y) + y (x + y) - 4 x y = 0$

Schritt 6.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x y + y (x + y) - 4 x y = 0$

Schritt 6.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Schritt 6.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Schritt 6.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} + x y + y x + y^{2} - 4 x y = 0$

Schritt 6.1.2.3.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 6.1.2.3.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$x^{2} + x y + x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Schritt 6.1.2.3.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $4 x y$ von $2 x y$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x y = 0$

Schritt 6.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2 y$ und $c = y^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ als ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ um.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 2 y$ und $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1.3.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ heraus.

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Schritt 6.4.1.3.1.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.1.2

Faktorisiere $2 y$ aus $2 \cdot 1 y$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.1.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (- 1) + 2 y (1)$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.4.1.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.4

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ heraus.

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Schritt 6.4.1.3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ heraus.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.5

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 6.4.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.6

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.4.1.3.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.3.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.1.6

$2 y$ plus oder minus $0$ ist $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Schritt 6.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 y}{2}$

Schritt 6.4.3.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$x = y$

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = y$ doppelte Wurzeln