Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{\frac{x^{2} - 3 x - 18}{\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 6}}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 6}}{x^{2} - 3 x - 18}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}}{x^{2} - 3 x - 18}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 6}}{x^{2} - 3 x - 18}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 6, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)}}{x^{2} - 3 x - 18}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 6) (x - 1)}}{x^{2} - 3 x - 18}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{x + 1}{x - 6}}{x^{2} - 3 x - 18}$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{\frac{x + 1}{x - 6}}{(x - 6) (x + 3)}$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{x + 1}{x - 6} \cdot \frac{1}{(x - 6) (x + 3)})$

Schritt 7

Multipliziere $\frac{x + 1}{x - 6} \cdot \frac{1}{(x - 6) (x + 3)}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{x + 1}{x - 6}$ mit $\frac{1}{(x - 6) (x + 3)}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{x + 1}{(x - 6) ((x - 6) (x + 3))}$

Schritt 7.2

Potenziere $x - 6$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{x + 1}{{(x - 6)}^{1} (x - 6) (x + 3)}$

Schritt 7.3

Potenziere $x - 6$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{x + 1}{{(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1} (x + 3)}$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{x + 1}{{(x - 6)}^{1 + 1} (x + 3)}$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{x + 1}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

Schritt 8

Mutltipliziere $x^{2} + 2 x + 1$ mit $\frac{x + 1}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1) (x + 1)}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

Schritt 9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 9.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x^{2} + 2 x + 1^{2}) (x + 1)}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

Schritt 9.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 9.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) (x + 1)}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

Schritt 9.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

Schritt 10

Multipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $x + 1$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $x + 1$ .

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Schritt 10.1.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1}}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

Schritt 10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x + 1)}^{2 + 1}}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$

Schritt 10.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{3}}{{(x - 6)}^{2} (x + 3)}$