Algebra Beispiele

$P (x) = x^{5} + x^{2} - x - 1$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$P (x) = x^{5} - x + x^{2} - 1$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$P (x) = x \cdot x^{4} - x + x^{2} - 1$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$P (x) = x \cdot x^{4} + x \cdot - 1 + x^{2} - 1$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x \cdot - 1$ heraus.

$P (x) = x (x^{4} - 1) + x^{2} - 1$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$P (x) = x ({(x^{2})}^{2} - 1) + x^{2} - 1$

Schritt 4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$P (x) = x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) + x^{2} - 1$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$P (x) = x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) + x^{2} - 1$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$P (x) = x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) + x^{2} - 1$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$P (x) = x ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) + x^{2} - 1$

Schritt 6.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$P (x) = x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) + x^{2} - 1$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$P (x) = x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + x^{2} - 1$

Schritt 7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$P (x) = x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + x^{2} - 1^{2}$

Schritt 8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$P (x) = x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1)$

Schritt 9

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1)$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1)$

Schritt 9.2

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 1) (x - 1)$ heraus.

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (1)$

Schritt 9.3

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (1)$ heraus.

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1) + 1)$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 1)$

Schritt 11

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 11.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 1)$

Schritt 11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 1)$

Schritt 11.2

Addiere $1$ und $2$ .

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x^{3} + x \cdot 1 + 1)$

Schritt 12

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$P (x) = (x + 1) (x - 1) (x^{3} + x + 1)$