Algebra Beispiele

$2 {| y + 3 |}^{2} - 9 | y + 3 | - 5 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = | y + 3 |$ . Ersetze $u$ für alle $| y + 3 |$ .

$2 u^{2} - 9 u - 5 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 u$ heraus.

$2 u^{2} - 9 u - 5 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 9$ um als $1$ plus $- 10$

$2 u^{2} + (1 - 10) u - 5 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 1 u - 10 u - 5 = 0$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$2 u^{2} + u - 10 u - 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} + u) - 10 u - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u + 1) - 5 (2 u + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 5) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $| y + 3 |$ .

$(2 | y + 3 | + 1) (| y + 3 | - 5) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 | y + 3 | + 1 = 0$

$| y + 3 | - 5 = 0$

Schritt 3

Setze $2 | y + 3 | + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 | y + 3 | + 1$ gleich $0$ .

$2 | y + 3 | + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 | y + 3 | + 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 | y + 3 | = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 | y + 3 | = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 | y + 3 | = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 | y + 3 |}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 | y + 3 |}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $| y + 3 |$ durch $1$ .

$| y + 3 | = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$| y + 3 | = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Es gibt keinen Wert von $y$ , der die Gleichung erfüllt, da ein Absolutwert nie negativ sein kann.

Keine Lösung

Schritt 4

Setze $| y + 3 | - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $| y + 3 | - 5$ gleich $0$ .

$| y + 3 | - 5 = 0$

Schritt 4.2

Löse $| y + 3 | - 5 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$| y + 3 | = 5$

Schritt 4.2.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm 5$

Schritt 4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y + 3 = 5$

Schritt 4.2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5 - 3$

Schritt 4.2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$y = 2$

Schritt 4.2.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y + 3 = - 5$

Schritt 4.2.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.3.4.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 5 - 3$

Schritt 4.2.3.4.2

Subtrahiere $3$ von $- 5$ .

$y = - 8$

Schritt 4.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 2, - 8$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 | y + 3 | + 1) (| y + 3 | - 5) = 0$ wahr machen.

$y = 2, - 8$

Schritt 6