Algebra Beispiele

$f (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ als Gleichung.

$y = - \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2} = x$ um.

$- \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2}) = - 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt[3]{4 y}}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \sqrt[3]{4 y}}{2} = - 2 x$

Schritt 3.3.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \sqrt[3]{4 y}}{2} = - 2 x$

Schritt 3.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt[3]{4 y}}{2} = - 2 x$

Schritt 3.3.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \sqrt[3]{4 y} = - 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sqrt[3]{4 y} = - 2 x$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $\sqrt[3]{4 y}$ mit $1$ .

$\sqrt[3]{4 y} = - 2 x$

Schritt 3.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{4 y}}^{3} = {(- 2 x)}^{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 y}$ als ${(4 y)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(4 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${({(4 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 y)}^{1} = {(- 2 x)}^{3}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

$4 y = {(- 2 x)}^{3}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache ${(- 2 x)}^{3}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$4 y = {(- 2)}^{3} x^{3}$

Schritt 3.5.3.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$4 y = - 8 x^{3}$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 8 x^{3}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 8 x^{3}$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 8 x^{3}}{4}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 8 x^{3}}{4}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 8 x^{3}}{4}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 3.6.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{4 (- 2 x^{3})}{4}$

Schritt 3.6.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{4 (- 2 x^{3})}{4 (1)}$

Schritt 3.6.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 (- 2 x^{3})}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.6.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 2 x^{3}}{1}$

Schritt 3.6.3.1.2.4

Dividiere $- 2 x^{3}$ durch $1$ .

$y = - 2 x^{3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}^{3}$

Schritt 5.2.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ an.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2})}^{3})$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ an.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{4 x}}^{3}}{2^{3}}))$

Schritt 5.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{{\sqrt[3]{4 x}}^{3}}{2^{3}})$

Schritt 5.2.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ als $4 x$ um.

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Schritt 5.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 x}$ als ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Schritt 5.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{{(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Schritt 5.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Schritt 5.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{{(4 x)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Schritt 5.2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{4 x}{2^{3}})$

Schritt 5.2.5.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{4 x}{2^{3}})$

Schritt 5.2.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 (- \frac{4 x}{8})$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x}{8}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x}{8}$

Schritt 5.2.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- 4 x}{8})$

Schritt 5.2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Schritt 5.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Schritt 5.2.7.5

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 \frac{- 4 x}{4}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 (1)}$

Schritt 5.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Schritt 5.2.8.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = - 1 (- x)$

Schritt 5.2.9

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = 1 x$

Schritt 5.2.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- 2 x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{4 (- 2 x^{3})}}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{- 8 x^{3}}}{2}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $- 8 x^{3}$ als ${(- 2 x)}^{3}$ um.

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 2 x)}^{3}}}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{- 2 x}{2}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{2 (- x)}{2}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2 x^{3}) = - \frac{- x}{1}$

Schritt 5.3.4.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f (- 2 x^{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$